2.3.1 Grandeza

Grandeza é tudo aquilo que se pode pesar, medir e contar. De acordo com Bellemain e Lima (2002) a Grandeza também pode ser vista como uma propriedade dos objetos; o aspecto de sua conservação, isto é, o fato de que mesmo que o objeto mude de posição ou de forma, algo pode permanecer constante, que pode ser usado como critério para ordenar uma coleção de objetos.

Segundo o Instituto de Pesos e Medidas do Estado de São Paulo (2021), ainda, “Grandeza pode ser definida, resumidamente, como sendo o atributo físico de um corpo que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado”.

Em Bellemain e Lima (2002, p. 43), as Grandezas são vistas como classes de equivalência, como por exemplo, as classes de equivalência de superfícies que têm a mesma área. Eles explicam:

De um ponto de vista estritamente matemático, a relação de equivalência “ter mesma área” (que permite considerar a área enquanto grandeza), é definida pela escolha de uma unidade seguida da medida das superfícies: duas superfícies de mesma medida têm mesma área.

O conceito de Grandeza atribui significado a outros conceitos matemáticos como os de número, pois “o conjunto numérico adequado para a construção da medida de uma grandeza deve ser o conjunto dos reais, face ao conhecido fenômeno da existência de quantidades incomensuráveis” (BELLEMAIN; LIMA, 2002, p. 100). Ou seja, no caso das Grandezas geométricas, estas relacionam a geometria, a álgebra e os sistemas numéricos.

As Grandezas são classificadas em dois tipos: as discretas e as contínuas. Lima (1991a, p. 7) as diferencia e exemplifica:

[…] as discretas (como um rebanho) e as contínuas (como o tempo, o peso e a distância). Comparar uma grandeza discreta com a unidade significa efetuar uma contagem; o resultado é sempre um número inteiro. Se, entretanto, a grandeza é contínua, compará-la com a unidade é medi-la; o resultado da comparação (medida) é um número real. Se a grandeza contínua que se quer medir é comensurável com a unidade escolhida, a medida é um número racional; se é incomensurável, sua medida é um número irracional.

Uma estrutura axiomática para o conceito de Grandeza foi feita por Bellemain e Lima (2002, p. 99-117), apresentaremos ela a seguir.

Para estruturar esse modelo matemático os autores inicialmente consideraram as Grandezas escalares e admitiram a Teoria dos Conjuntos, as regras lógicas e o conjunto dos naturais (\mathbb{N}=1,2,3,4,..), com sua estrutura de semigrupo aditivo ordenado e comutativo. Além disso, o modelo axiomático apresentado por eles tomou o conjunto  dos racionais estritamente positivos para valores das medidas.

Para construir o conceito mais geral de Grandeza de maneira formal, os autores buscaram tornar logicamente precisa a expressão “o atributo A de elementos de um conjunto”. E, para isso, o caminho seguido por eles foi definir uma relação de equivalência entre dois elementos de um conjunto e, em seguida, considerar o conjunto das classes induzido por essa relação, isto é, cada uma delas passando a ser “o atributo A”. Por exemplo, para definir o comprimento de um segmento de reta, num dado universo U=\{AB, CD, EF,...\} de segmentos de reta, recorre-se a relação de equivalência “ter o mesmo comprimento”, a ser verificada entre dois segmentos de reta, e então, forma-se o conjunto \boldsymbol{U = \{AB, CD, EF, ...\}} das classes de equivalência de U com respeito a essa relação de equivalência, e cada uma dessas classes, \boldsymbol{AB}, passa a ser, então, o comprimento de \boldsymbol{AB}.

O procedimento adotado pelos autores para uma Grandeza arbitrária \boldsymbol{G} iniciou por tomar um conjunto G=\{x, y, z, ...\}. Então, definiu-se uma relação de equivalência  entre os elementos de G. Ou seja, uma relação que satisfaça, para quaisquer elementos x, y e z de G, as seguintes condições:

Axioma 1. x \sim x (reflexividade);

Se x \sim x diz-se que “x e y são equivalentes com respeito à Grandeza G”. Na interpretação do exemplo dos segmentos de reta, tem-se: “AB e CD são equivalentes com respeito ao comprimento” ou simplesmente “AB e CD têm o mesmo comprimento” (BELLEMAIN; LIMA, 2002).

Axioma 2. x \sim y \Leftrightarrow y \sim x (simetria);

Axioma 3. x \sim y, y \sim z \Rightarrow x \sim z (transitividade).

Em seguida, os autores admitiram a existência de uma relação em G simbolizada por \prec, tal que, para dois elementos quaisquer x e y pertencentes a G, ocorre uma e só uma das situações:

Axioma 4. x \prec y, x \sim y ou y \prec x (tricotomia).

Se x \prec y diz-se “x é menor do que y”. No caso dos segmentos de reta AB \prec CD deve-se ler “AB tem comprimento menor do que CD”. A transitividade dessa relação é também suposta (BELLEMAIN; LIMA, 2002):

Axioma 5. \forall x, y \in X, x \prec y, y \prec z \Rightarrow x \prec z.

Utilizando os axiomas de 1 a 5, os autores deduziram duas proposições, válidas para quaisquer x, y, z no conjunto G:

Proposição 1. x \prec y e y \sim z \Rightarrow x \prec z.

Proposição 2. x \sim y e y \prec z \Rightarrow x \prec z.

Neste ponto, os autores ressaltaram o fato de que toda relação de equivalência num conjunto G permite definir o conjunto das classes de equivalência que são constituídas tomando-se, para cada elemento x em G, a classe \boldsymbol{x} de todos os elementos equivalentes a x. Forma-se, então, o conjunto \boldsymbol{G=\{x, y, z, ...\}}, denominado um “domínio de quantidades de Grandeza \boldsymbol G“. Os elementos \boldsymbol {x, y, z, ...} de \boldsymbol G são “quantidades da Grandeza \boldsymbol G“, ou, nos casos em que a Grandeza \boldsymbol G é subentendida, simplesmente “quantidades”. Também, chamam-se os elementos (x, y, z, ...) de \boldsymbol G de “valores da Grandeza \boldsymbol G“, ou apenas Grandezas. No mais, quando se está lidando com mais de uma Grandeza, a expressão “domínio de quantidades da Grandeza G” é, em geral, simplificada para “Grandeza \boldsymbol G”, ou mesmo, “\boldsymbol G”.

Pelo Axioma 4, todos os elementos do conjunto G passam a ser comparáveis, obtendo-se uma relação de ordem total. Assim, os autores transportaram para o conjunto \boldsymbol G, das classes de equivalência, essa relação de ordem definida no conjunto base G. Para duas classes quaisquer \boldsymbol {x, y} pertencentes a \boldsymbol G, definiram

\boldsymbol{x<y} \Leftrightarrow \exists x \in \boldsymbol{x},\exists y \in \boldsymbol{y}: x \prec y.

As Proposições 1 e 2 garantem que a definição acima não depende dos representantes x e y escolhidos nas respectivas classes \boldsymbol{x} e \boldsymbol{y}, assegurando que a relação de ordem acima está bem definida. Além disso, a igualdade \boldsymbol{x=y}, sendo uma igualdade entre dois conjuntos, significa que todo elemento de \boldsymbol x pertence a \boldsymbol y e, reciprocamente, todo elemento de \boldsymbol y pertence a \boldsymbol x. Dessa maneira, para \boldsymbol{x=y}, se x \in \boldsymbol{x} e y \in \boldsymbol{y}, então x \sim y (BELLEMAIN; LIMA, 2002).

Os axiomas e propriedades que regem as relações \sim e \prec foram traduzidas pelos autores em proposições relativas ao conjunto \boldsymbol G das classes e podem ser demonstradas sem dificuldades (BELLEMAIN; LIMA, 2002).

Proposição 3. A relação \sim no conjunto \boldsymbol G é uma relação de equivalência, ou seja, é uma relação reflexiva, simétrica e transitiva.

Proposição 4. Para quaisquer \boldsymbol{x, y \in G} , verifica-se uma e só uma das alternativas: \boldsymbol{x<y}; \boldsymbol{x=y}; \boldsymbol{y<x}.

Proposição 5. Para quaisquer \boldsymbol{x, y, z \in G, x<y, y=z \Rightarrow x < z}.

Proposição 6. Para quaisquer \boldsymbol{x, y, z \in G, x=y, y<z \Rightarrow x<z}.

Resulta das propriedades enunciadas que a relação < é uma relação de ordem estrita no conjunto \boldsymbol G, pois, em virtude da Proposição 4, dois elementos quaisquer de \boldsymbol G são sempre comparáveis (BELLEMAIN; LIMA, 2002).

Assim, destacaram os autores, as Grandezas que satisfazem as propriedades formalizadas acima podem ser chamadas Grandezas ordinais e é possível aritmetizar tais Grandezas, isto é, estabelecer uma função que associe a cada quantidade um número. Mas, para essa correspondência, é necessário que haja isomorfismo entre as estruturas de ordem nas grandezas nos números reais, ou seja, se uma quantidade é menor do que outra o número associado a primeira deve ser menor do que o da segunda.

Os autores destacaram que o maior interesse da exposição feita residiu nas Grandezas que, além de ordinais, admitem uma operação de adição entre as suas quantidades. Essas Grandezas, ordinais e aditivas, são chamadas “Grandezas mensuráveis”. No que se segue, os autores procuraram axiomatizar uma operação de adição que modelize, por exemplo, a operação de colocar um segmento de reta com a origem coincidindo com a extremidade de outro, alinhados, para produzir uma combinação de dois segmentos.

Assim, iniciaram por introduzir axiomaticamente uma adição em G, definindo-a, no entanto, apenas para elementos x, y que sejam distintos. Esta última restrição reflete a impossibilidade física de se efetuar a combinação dita anteriormente com apenas um segmento de reta (BELLEMAIN; LIMA, 2002):

Axioma 6. Para dois elementos distintos quaisquer de G define-se um elemento de G, simbolizado por x \oplus y, que satisfaz as seguintes condições para qualquer z \in G, desde que as adições estejam definidas:

i) x \oplus (y \oplus z)=(x \oplus y) \oplus z (associatividade);

ii) x \oplus y=y \oplus x (comutatividade);

iii) x \sim y e z \sim w \Rightarrow (x \oplus z) \sim (y \oplus w);

iv) x \prec x \oplus y;

v) x \prec y \Rightarrow \exists w \in G:y=x \oplus w.

Os autores, utilizando o procedimento padrão, transportaram para o conjunto \boldsymbol G das classes de equivalência de G relativamente à relação \sim, definindo uma operação binária em \boldsymbol G, por meio dos representantes das classes de \boldsymbol G. Para contornar a dificuldade na definição de x \oplus y, em que é necessário supor x\neq y, e, além do mais, possibilitar a adição de um número qualquer de parcelas, os autores introduziram outro axioma:

Axioma 7. Para cada x \in G, existe um número infinito de elementos y \in G, tais que x \sim y e x \neq y.

Esse axioma equivale ao requisito de que as classes de \boldsymbol G possuem um número infinito de elementos. Com base no que eles admitiram anteriormente, é possível, então, definir a operação binária desejada (BELLEMAIN; LIMA, 2002):

Definição 1. Sejam \boldsymbol x e \boldsymbol y elementos de \boldsymbol G. Tomem-se x \in \boldsymbol{x} e y \in \boldsymbol{y}, efetue-se a adição x \oplus y=z e considere-se a classe \boldsymbol z do elemento z. Por definição, \boldsymbol{x+y=z}.

Primeiro, foi destacado pelos autores que é possível efetuar a operação x+x, pois o Axioma 7 permite a escolha de representantes distintos na classe \boldsymbol x. Em seguida, foi notado que é possível transportar as propriedades da adição válidas para o conjunto base G, para o conjunto das classes \boldsymbol G, enunciado no que se segue.

Proposição 7. Para quaisquer \boldsymbol{x, y, z \in G, (x+y)+z=x+(y+z)}.

Proposição 8. Para quaisquer \boldsymbol{x, y \in G, x+y=y+x}.

Proposição 9. Para quaisquer \boldsymbol{x, y, z \in G, x<y \Leftrightarrow x+z<y+z}.

Proposição 10. Para quaisquer \boldsymbol{x, y \in G, x<x+y}.

Proposição 11. Para quaisquer \boldsymbol{x, y \in G, x<y \Leftrightarrow \exists z \in G:y=x+z}.

Proposição 12. Para quaisquer \boldsymbol{x, y, z \in G, x<y,y=z \Rightarrow x<z}.

Proposição 13. Para quaisquer \boldsymbol{x, y, z, w \in G},

\boldsymbol{x<y, z<w \Rightarrow x+z<y+w}.

Completada a axiomatização da adição de quantidades de uma Grandeza, os autores passaram a considerar uma multiplicação de uma quantidade por um número n \in \mathbb{N}. A ideia é considerar uma operação do conjunto \mathbb{N}=\{1, 2, 3, 4, ...\} sobre o conjunto \boldsymbol G (BELLEMAIN; LIMA, 2002).

Dado um natural n e um elemento \boldsymbol x de \boldsymbol G definem n \boldsymbol{x=x+x+x+...+x} (n vezes).

Mais rigorosamente, definem tal operação usando a regra de recorrência:

1 \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}

(n+1) \boldsymbol{x}=n \boldsymbol{x}\boldsymbol{+} \boldsymbol{x}, n=2, 3, 4, ...

Nessa definição, sendo o operador a multiplicação, a primeira linha diz que 1 multiplicado pela classe \boldsymbol{x} é igual a própria classe \boldsymbol{x}. Na segunda linha dessa definição, usando recorrência, temos à esquerda da igualdade (utilizando o leitor como referência) n+1 multiplicado pela classe \boldsymbol{x}, que é igual a n \boldsymbol{x+x}, à direita da igualdade. Note que os dois sinais de adição que aparecem nessa igualdade têm naturezas distintas e estão em mundos diferentes. No lado esquerdo, esse sinal de adição n+1 é a adição que aprendemos ao estudarmos os Axiomas de Peano, está relacionada a ideia de sucessor. Já o sinal de adição do lado direito da igualdade é o operador de classes da Definição 1.

Do ponto de vista matemático, os autores definiram uma ação do monoide cujo conjunto base é o conjunto dos números naturais e cuja operação binária é o produto usual (produto usual de números reais) sobre o conjunto das classes de equivalência definidas pela relação de equivalência \sim, o conjunto \boldsymbol{G}. Em outras palavras, é uma ação do monoide dos naturais com a multiplicação usual sobre o conjunto \boldsymbol{G} das classes de equivalência.

Ao utilizar essa ação os autores obtêm ganhos significativos. Um deles, é que se ganha, de imediato, uma identificação envolvendo dois sinais distintos de mundos distintos (a igualdade da segunda linha). Um segundo ganho significativo é que se tem uma distributividade tal qual como funciona na adição e multiplicação de números reais, por exemplo. Uma outra contribuição também significativa é que, em decorrência dessa identificação que os autores fizeram, das Proposições 14 à 26 se ganha um arcabouço teórico de propriedades que permitem ter uma estrutura de anel, mais especificamente para esse trabalho, um anel booleno, que é o espaço adequado onde trabalhamos Teoria da Medida.

As propriedades abaixo foram apresentadas pelos autores:

Proposição 14. Para todo \boldsymbol{x, y \in G} e para todo m, n \in \mathbb{N}, são válidas as igualdades:

i) (m+n) \boldsymbol{x}=m \boldsymbol{x}+n \boldsymbol{x};

ii) (m, n) \boldsymbol{x}=m(n \boldsymbol{x});

iii) n \boldsymbol{(x+y)}=n \boldsymbol{x}+n \boldsymbol{y}.

Proposição 15. Para todo \boldsymbol{x \in G} e para todo m, n \in \mathbb{N}, m<n \Leftrightarrow m \boldsymbol{x}<n \boldsymbol{x}.

Proposição 16. Para todo \boldsymbol{x \in G} e para todo m,n \in \mathbb{N}, m=n \Leftrightarrow m \boldsymbol{x}=n \boldsymbol{x}.

Proposição 17. Para todo \boldsymbol{x, y \in G} e para todo n \in \mathbb{N}, \boldsymbol{x<y} \Leftrightarrow n \boldsymbol{x}<n \boldsymbol{y}.

Proposição 18. Para todo \boldsymbol{x, y \in G} e para todo n \in \mathbb{N}, \boldsymbol{x=y} \Leftrightarrow n \boldsymbol{x}=n \boldsymbol{y}.

As proposições acima fornecem as regras de uma “álgebra das quantidades” (ou uma “álgebra das Grandezas”) no caso de os coeficientes serem números naturais. A etapa seguinte que os autores percorreram é a extensão dessa álgebra para os coeficientes no conjunto \mathbb{Q}^{+} dos racionais estritamente positivos (BELLEMAIN; LIMA, 2002). Para isso, os autores introduziram a divisão de uma quantidade por um número natural e iniciaram por observar que, para cada n \in \mathbb{N}, pode ser definido um operador:

f_{n}: \boldsymbol{G \rightarrow G}

x \rightarrow f_{n}(\boldsymbol{x})=n \boldsymbol{x}

A Proposição 17 mostra que, se x<y então n \boldsymbol{x}<n \boldsymbol{y}. Assim, a função f_{n} é injetiva de \boldsymbol G em \boldsymbol G (BELLEMAIN; LIMA, 2002). Os autores adotaram, então, o seguinte axioma:

Axioma 8. (Divisibilidade) Dados \boldsymbol{x \in G} e n \in \mathbb{N}, existe \boldsymbol{y \in G} tal que \boldsymbol{x}=n \boldsymbol{y}.

O elemento \boldsymbol{y} acima definido é dito a \boldsymbol n-ésima parte de \boldsymbol x sendo simbolizado por \boldsymbol{y}=\frac{1}{n} \boldsymbol{x}. Como a função f_{n} é injetiva o elemento \boldsymbol y é único. Pôde-se, então, ser definido o operador \boldsymbol n-ésima parte, a saber, a função g_{n}(\boldsymbol{x})=\frac{1}{n}\boldsymbol{x} (BELLEMAIN; LIMA, 2002).

O coeficiente 1/n na expressão de g_{n} não é o número racional 1/n, mas apenas uma notação que caracteriza de forma conveniente o operador g_{n} (BELLEMAIN; LIMA, 2002). A identificação deste operador com o número racional é precisamente o objetivo das etapas que se seguem da explanação dos autores. Para isso, desenvolveram regras operatórias com os coeficientes 1/n que imitam aquelas já obtidas para os coeficientes naturais. Foi preciso, no entanto, que os autores contornassem nesta etapa expressões do tipo (1/n+1/m) \boldsymbol{x} ou do tipo [(1/m)(1/n)] \boldsymbol{x}, pois ainda não seria possível atribuir significado a tais expressões.

As primeiras propriedades que serão mencionadas resultaram diretamente da definição do operador g_{n}:

n(\frac{1}{n} \boldsymbol{x})= \boldsymbol{x},

\frac{1}{n}(n \boldsymbol{x})= \boldsymbol{x}.

Outras propriedades se seguiram e são demonstradas pelos autores:

Proposição 19. Para todo \boldsymbol{x, y \in G} e para todo m, n \in \mathbb{N}, tem-se:

i) \frac{1}{m} \boldsymbol{x}+ \frac{1}{n} \boldsymbol{x}= \frac{1}{mn}[(m+n) \boldsymbol{x}];

ii) \frac{1}{m} \frac{1}{n} \boldsymbol{x}= \frac{1}{mn} \boldsymbol{x};

iii) \frac{1}{m}(\boldsymbol{x+y})= \frac{1}{m} \boldsymbol{x}+ \frac{1}{m} \boldsymbol{y}.

Demonstração da primeira igualdade:

i) mn[\frac{1}{m} \boldsymbol{x}+ \frac{1}{n} \boldsymbol{x}]=mn(\frac{1}{m} \boldsymbol{x})+mn(\frac{1}{n} \boldsymbol{x})=n[m(\frac{1}{m} \boldsymbol{x})]+m[n(\frac{1}{n} \boldsymbol{x})]=

n \boldsymbol{x}+m \boldsymbol{x}=(n+m) \boldsymbol{x}.

Proposição 20. Para todo \boldsymbol{x, y \in G} e para todo m,n \in \mathbb{N}, tem-se:

i) \frac{1}{m} \boldsymbol{x}< \frac{1}{n} \boldsymbol{x} \Leftrightarrow n<m,

ii) \frac{1}{m} \boldsymbol{x}= \frac{1}{n} \boldsymbol{x} \Leftrightarrow m=n,

iii) \frac{1}{n} \boldsymbol{x}< \frac{1}{n} \boldsymbol{y} \Leftrightarrow \boldsymbol{x<y},

iv) \frac{1}{n} \boldsymbol{x}= \frac{1}{n} \boldsymbol{y} \Leftrightarrow \boldsymbol{x=y}.

Demonstração da primeira parte da proposição:

(\Leftarrow) Suponha-se que n<m. Se não se tem (1/m) \boldsymbol{x}<(1/n) \boldsymbol{x}, dever-se-á ter (1/m) \boldsymbol{x}=(1/n) \boldsymbol{x} ou (1/n) \boldsymbol{x}<(1/m) \boldsymbol{x}. No primeiro caso, virá mn(1/m) \boldsymbol{x}=mn(1/n) \boldsymbol{x}, donde resulta n\boldsymbol{x}=m\boldsymbol{x} e, portanto, n=m, contrariando a hipótese. No segundo caso, deduz-se que mn(1/n) \boldsymbol{x}<mn(1/m) \boldsymbol{x}, que implica na desigualdade m \boldsymbol{x}<n \boldsymbol{x} e, portanto, m<n, o que contradiz a hipótese (BELLEMAIN; LIMA, 2002).

(\Rightarrow) Seja (1/m) \boldsymbol{x}<(1/n) \boldsymbol{x}. Suponha, por absurdo, que não ocorre n<m. Deverá, então ser m=n ou m<n. No primeiro caso tem-se, de imediato, (1/m) \boldsymbol{x}=(1/n) \boldsymbol{x}, contradizendo a hipótese. Na segunda alternativa, levando em conta a proposição direta resulta (1/n) \boldsymbol{x}<(1/m) \boldsymbol{x}, contrariamente à hipótese. Logo, n<m, como se queria provar (BELLEMAIN; LIMA, 2002).

Neste ponto, os autores trataram de compor dois operadores f_{m} e g_{n} sendo m, n \in \mathbb{N}. Uma propriedade útil para essa definição foi dada na:

Proposição 21. Para todo \boldsymbol{x \in G} e para todo m, n \in \mathbb{N}, tem-se m(\frac{1}{n} \boldsymbol{x})= \frac{1}{n}(m \boldsymbol{x}).

Definiu-se, então,

f_{m} \circ g_{n}:G \rightarrow G

x \rightarrow (f_{m} \circ g_{n}) (\boldsymbol{x})=m(\frac{1}{n} \boldsymbol{x})= \frac{1}{n}(m \boldsymbol{x}).

O operador acima foi representado por (f_{m} \circ g_{n}) (\boldsymbol{x})= \frac{m}{n} \boldsymbol{x}.

Novamente, neste ponto, os autores advertiram que o coeficiente da Grandeza na definição acima não representa um número racional e sim uma notação para o operador composto de uma multiplicação por um número natural m com uma divisão pelo número natural n. Seguindo etapas análogas às que foram seguidas quando se tratava de n \boldsymbol{x} e de (1/n) \boldsymbol{x}, podem ser demonstradas as proposições que se seguem.

Proposição 22. Para todo \boldsymbol{x, y \in G} e para todo m, n, p, q \in \mathbb{N}, tem-se:

i) \frac{m}{n} \boldsymbol{x}+ \frac{p}{q} \boldsymbol{x}= \frac{mq+np}{nq} \boldsymbol{x},

ii) \frac{m}{n}(\frac{p}{q} \boldsymbol{x})= \frac{mp}{nq} \boldsymbol{x},

iii) \frac{m}{n}(\boldsymbol{x+y})= \frac{m}{n} \boldsymbol{x}+ \frac{m}{n} \boldsymbol{y}.

Proposição 23. Para todo \boldsymbol{x, y \in G} e para todo m, n, p, q \in \mathbb{N}, tem-se:

i) \frac{m}{n} \boldsymbol{x}< \frac{p}{q} \boldsymbol{x} \Leftrightarrow mq<np,

ii) \frac{m}{n} \boldsymbol{x}= \frac{p}{q} \boldsymbol{x} \Leftrightarrow mq=np,

iii) \frac{m}{n} \boldsymbol{x}< \frac{m}{n} \boldsymbol{y} \Leftrightarrow \boldsymbol{x<y},

iv) \frac{m}{n} \boldsymbol{x}= \frac{m}{n} \boldsymbol{y} \Leftrightarrow \boldsymbol{x=y}.

As condições sobre m, n, p e q da Propriedade i) foram apresentadas da forma indicada pelo fato de que nessa exposição ainda não tinham sido atribuídos significados para relações do tipo (m/n)<(p/q) (BELLEMAIN; LIMA, 2002).

Proposição 24. Para todo \boldsymbol{x \in G} e para todo m, n, p, q \in \mathbb{N}, tem-se \frac{m}{n} \boldsymbol{x}= \frac{km}{kn} \boldsymbol{x}.

Os autores destacaram que a proposição acima permite que se possam eliminar fatores primos comuns aos números que compõem o par ordenado representado por m/n. Dado um par ordenado m/n, o procedimento referido permite definir um par ordenado m'/n', denominado par ordenado reduzido de m/n, em que m' e n' são primos entre si e m=km' e n=kn', para algum número natural k.

Proposição 25. Seja \boldsymbol{x} um elemento qualquer de \boldsymbol G. Se m e n são primos entre si e se \frac{m}{n} \boldsymbol{x}= \frac{p}{q} \boldsymbol{x} então, existe um número natural k tal que p=km e q=kn.

Proposição 26. Dois operadores f_{m} \circ g_{n} e f_{p} \circ g_{p} têm o mesmo efeito sobre um elemento de \boldsymbol G se, e somente se, os pares reduzidos de m/n e de p/q forem iguais.

As proposições que foram enunciadas até aqui permitiram que se considere o conjunto dos operadores f_{m} \circ g_{n}, para m e n arbitrários, e que nesse conjunto se possa definir a relação de equivalência induzida pela Proposição 26. Com isso, foi possível definir um espaço F de classes de operadores sobre \boldsymbol G denominadas operadores de fracionamento ou operadores racionais (BELLEMAIN; LIMA, 2002). Os autores tomaram, então, nesse espaço, as operações de adição e decomposição de classes de operadores induzidas pelas igualdades válidas para quaisquer f_{m} \circ g_{n} e f_{p} \circ g_{p}:

[(f_{m} \circ g_{n})+(f_{p} \circ g_{p})] (\boldsymbol{x})= \frac{m}{n} \boldsymbol{x}+ \frac{p}{q} \boldsymbol{x}= \frac{mq+np}{nq} \boldsymbol{x},

[(f_{m} \circ g_{n}) \circ (f_{p} \circ g_{p})] (\boldsymbol{x})= \frac{m}{n} (\frac{p}{q} \boldsymbol{x})= \frac{mp}{nq}\boldsymbol{x}.

É possível provar que o espaço <F, +>, constituído pelo conjunto F e pela operação de adição, é um semigrupo comutativo. Igualmente, é um semigrupo comutativo o espaço <F, \circ> e, além disso, é válida a distributividade da operação de composição relativamente à adição (BELLEMAIN, LIMA, 2002).

Os autores consideraram, então, o conjunto \mathbb{Q}^{+} dos racionais estritamente positivos, munido das operações usuais de adição e multiplicação de racionais. Verifica-se, por meio de uma demonstração simples, que existe um isomorfismo entre as estruturas <F, +, \circ> e <\mathbb{Q}^{+}, +, \cdot>. Em outros termos, é possível provar a existência de uma identificação entre o espaço de operadores de fracionamento e os números racionais estritamente positivos.

Por simplicidade, os autores sempre supõem que os números naturais que definem o operador f_{m} \circ g_{n} são primos entre si, ou seja, são pares ordenados reduzidos; além disso para tornar mais leve a linguagem, dizemos o “operador f_{m} \circ g_{n}” em vez de “a classe do operador f_{m} \circ g_{n}”.

Uma observação é feita pelos autores. Na construção do sistema axiomático exposto poderia ter sido considerado como conjunto dos coeficientes o conjunto dos naturais em vez do conjunto dos racionais positivos. Então, ter-se-ia uma estrutura para o conceito de Grandeza do tipo \mathbb{N} \boldsymbol{u}, constituída pelos múltiplos naturais de uma unidade \boldsymbol u. Assim, essa estrutura inclui o próprio sistema dos números naturais, que podem ser entendidos como quantidades de uma Grandeza ou, simplesmente, como Grandezas. Desse modo, a unidade usada seria o número 1. Esse é o modelo abstrato das chamadas Grandezas discretas.

No entanto, adotando o conjunto dos números racionais para os coeficientes, como foi apresentado, vê-se, similarmente, que os racionais positivos podem ser interpretados como Grandezas. Neste caso, temos um modelo abstrato de Grandeza indefinidamente divisível que possui continuidade. De fato, apenas quando se toma, nesse tipo de sistema axiomático adotado, os números reais como o conjunto dos coeficientes do sistema, pode-se obter um modelo abstrato para as Grandezas contínuas (BELLEMAIN, LIMA, 2002).

Essa é uma axiomática construída pelos autores que considera uma Grandeza como um conjunto de objetos, ditos quantidades dessa Grandeza, no qual está definida uma relação de ordem, uma operação interna de soma de duas quantidades e uma operação externa de produto de uma quantidade por um número racional estritamente positivo. Os axiomas adotados permitiram construir uma “Grandeza”, ou um “domínio de quantidades”, como um semiespaço vetorial, \mathbb{Q}^{+} \boldsymbol{u}, constituído pelos múltiplos, r \boldsymbol{u}, de uma dada quantidade \boldsymbol{u}, escolhida arbitrariamente como unidade de medida.

Além disso, de acordo com os autores, tais axiomas delimitam as regras de uma “álgebra de quantidades” na qual são válidas, por exemplo, igualdades do tipo 200 cm=2 m em que expressa igualdade entre duas quantidades da Grandeza comprimento, isto é, uma igualdade entre dois comprimentos. Ou seja, é uma igualdade que expressa um mesmo comprimento representado em duas unidades diferentes, no caso, o centímetro e o metro. Ou ainda, 2 cm+5 cm=(2+5) cm=7 cm, que envolve a operação de adição de duas quantidades, um conceito primitivo (sem definição, portanto) na estrutura matemática que foi apresentada. A validade dessa cadeia de igualdades resulta das regras adotadas como axiomas no mencionado sistema lógico, bem como da definição de 2 cm e 5 cm, cada um deles sendo um produto de um número racional por uma quantidade. Do ponto de vista formal, a álgebra utilizada nesse exemplo é inteiramente análoga à álgebra dos polinômios, na qual 2x+5x=7x.

 

 


2.3 Grandezas e Medidas


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