2.3.2 Medida

Trazemos a definição de Medida como está em Halmos (1950, p. 30-31, tradução nossa), no seu livro Measure Theory.

Uma função conjunto é uma função cujo domínio é uma classe de conjuntos. Uma função conjunto de valor real estendida $\mu$ definida em uma classe $\boldsymbol E$ de conjuntos é aditiva se, sempre que

$E \in \boldsymbol{E}, F \in \boldsymbol{E}, E \cup F \in \boldsymbol{E}$ e $E \cap F=0$ , então

$\mu (E \cup F)= \mu (E)+ \mu (F)$ .

Uma função conjunto de valor real estendida $\mu$ definida em uma classe $\boldsymbol E$ é finitamente aditiva se, para cada classe finita e disjunta $\{E_{1}, ..., E_{n}\}$ de conjuntos em $\boldsymbol E$ cuja união também está em $\boldsymbol E$ , temos

$\mu (\bigcup_{i=1}^{n}E_{i})=\sum_{i=1}^{n} \mu(E_{i})$ .

Uma função conjunto de valor real estendida $\mu$ definida em uma classe $\boldsymbol E$ é contavelmente aditiva se, para cada sequência disjunta $\{E_{i}\}$ de conjuntos em $\boldsymbol E$ cuja união também está em $\boldsymbol E$ , temos

$\mu (\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n})= \sum_{n=1}^{\infty} \mu (E_{n})$ .

Uma Medida é uma função conjunto $\mu$ de valor real estendida, não negativa e contavelmente aditiva, definida em um anel $\boldsymbol R$ , e tal que $\mu(0)=0$ . Em vista da identidade,

$\bigcup_{i=1}^{n}E_{i}=E_{1} \cup ... \cup E_{n} \cup 0 \cup 0 \cup ...$ ,

uma Medida é sempre finitamente aditiva.

Apenas para lembrar, um anel (ou anel Booleano) de conjuntos é uma classe $\boldsymbol R$ não vazia de conjuntos tais que

$E \in \boldsymbol{R}$ e $F \in \boldsymbol{R}$ , então

$E \cup F \in \boldsymbol{R}$ e $E-F \in \boldsymbol{R}$ .

Ou seja, um anel é uma classe de conjuntos não vazia, fechada sob a formação de uniões e diferenças.

Vejamos um exemplo trivial de uma medida:

Seja $f$ uma função não negativa de valor real estendida dos pontos de um conjunto $X$ . Seja o anel $\boldsymbol R$ composto por todos os subconjuntos finitos de $X$ ; define-se $\mu$ por

$\mu (\{x_{1}, ..., x_{n}\})=\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})$ e $\mu(0)=0$ .

Outros exemplos menos triviais:

Se $\mu$ é uma Medida em um anel $\boldsymbol R$ , um conjunto $E$ em $\boldsymbol R$ é dito ter medida finita se $\mu (E)< \infty$ ; a Medida de $E$ é $\boldsymbol{\sigma}$ -finita se existe uma sequência $\{E_{n}\}$ de conjuntos em $\boldsymbol R$ tal que

$E \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}$ e $\mu (E_{n})< \infty, n=1, 2, ...$ .

Se a Medida de cada conjunto $E$ em $\boldsymbol R$ é finita (ou $\sigma$ -finita), a Medida $\mu$ é chamada finita (ou $\boldsymbol{\sigma}$ -finita) em $\boldsymbol R$ . Se $X \in \boldsymbol{R}$ (ou seja, se $\boldsymbol R$ é uma álgebra) e $\mu (X)$ é finito ou $\sigma$ -finito, então $\mu$ é chamado de totalmente finito ou totalmente $\boldsymbol{\sigma}$ -finito, respectivamente. A Medida $\mu$ é chamada completa se as condições

$E \in \boldsymbol{R}, F \subset E$ e $\mu (E)=0$

implica que $F \in \boldsymbol{R}$ .

2.3.1 Grandeza

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2.3.3 Medida de Área