{"id":2747,"date":"2022-01-24T11:58:08","date_gmt":"2022-01-24T14:58:08","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/?page_id=2747"},"modified":"2024-08-18T14:09:16","modified_gmt":"2024-08-18T17:09:16","slug":"dissertacao-2-3-1-grandeza","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-1-grandeza\/","title":{"rendered":"2.3.1 Grandeza"},"content":{"rendered":"\n

[latexpage]Grandeza \u00e9 tudo aquilo que se pode pesar, medir e contar. De acordo com Bellemain e Lima (2002)<\/a> a Grandeza tamb\u00e9m pode ser vista como uma propriedade dos objetos; o aspecto de sua conserva\u00e7\u00e3o, isto \u00e9, o fato de que mesmo que o objeto mude de posi\u00e7\u00e3o ou de forma, algo pode permanecer constante, que pode ser usado como crit\u00e9rio para ordenar uma cole\u00e7\u00e3o de objetos.<\/h3>\n

Segundo o Instituto de Pesos e Medidas do Estado de S\u00e3o Paulo (2021)<\/a>, ainda, \u201cGrandeza pode ser definida, resumidamente, como sendo o atributo f\u00edsico de um corpo que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado\u201d.<\/h3>\n

Em Bellemain e Lima (2002<\/a>, p. 43), as Grandezas s\u00e3o vistas como classes de equival\u00eancia, como por exemplo, as classes de equival\u00eancia de superf\u00edcies que t\u00eam a mesma \u00e1rea. Eles explicam:<\/h3>\n
\n

De um ponto de vista estritamente matem\u00e1tico, a rela\u00e7\u00e3o de equival\u00eancia \u201cter mesma \u00e1rea\u201d (que permite considerar a \u00e1rea enquanto grandeza), \u00e9 definida pela escolha de uma unidade seguida da medida das superf\u00edcies: duas superf\u00edcies de mesma medida t\u00eam mesma \u00e1rea.<\/h3>\n<\/blockquote>\n

O conceito de Grandeza atribui significado a outros conceitos matem\u00e1ticos como os de n\u00famero, pois \u201co conjunto num\u00e9rico adequado para a constru\u00e7\u00e3o da medida de uma grandeza deve ser o conjunto dos reais, face ao conhecido fen\u00f4meno da exist\u00eancia de quantidades incomensur\u00e1veis\u201d (BELLEMAIN; LIMA, 2002, p. 100<\/a>). Ou seja, no caso das Grandezas geom\u00e9tricas, estas relacionam a geometria, a \u00e1lgebra e os sistemas num\u00e9ricos.<\/h3>\n

As Grandezas s\u00e3o classificadas em dois tipos: as discretas e as cont\u00ednuas. Lima (1991a<\/a>, p. 7) as diferencia e exemplifica:<\/h3>\n
\n

[…] as discretas<\/em> (como um rebanho) e as cont\u00ednuas<\/em> (como o tempo, o peso e a dist\u00e2ncia). Comparar uma grandeza discreta com a unidade significa efetuar uma contagem<\/em>; o resultado \u00e9 sempre um n\u00famero inteiro. Se, entretanto, a grandeza \u00e9 cont\u00ednua, compar\u00e1-la com a unidade \u00e9 medi-la<\/em>; o resultado da compara\u00e7\u00e3o (medida) \u00e9 um n\u00famero real. Se a grandeza cont\u00ednua que se quer medir \u00e9 comensur\u00e1vel com a unidade escolhida, a medida \u00e9 um n\u00famero racional; se \u00e9 incomensur\u00e1vel, sua medida \u00e9 um n\u00famero irracional.<\/h3>\n<\/blockquote>\n

Uma estrutura axiom\u00e1tica para o conceito de Grandeza foi feita por Bellemain e Lima (2002<\/a>, p. 99-117), apresentaremos ela a seguir.<\/h3>\n

Para estruturar esse modelo matem\u00e1tico os autores inicialmente consideraram as Grandezas escalares e admitiram a Teoria dos Conjuntos, as regras l\u00f3gicas e o conjunto dos naturais $(\\mathbb{N}=1,2,3,4,..)$, com sua estrutura de semigrupo aditivo ordenado e comutativo. Al\u00e9m disso, o modelo axiom\u00e1tico apresentado por eles tomou o conjunto \u00a0dos racionais estritamente positivos para valores das medidas.<\/h3>\n

Para construir o conceito mais geral de Grandeza de maneira formal, os autores buscaram tornar logicamente precisa a express\u00e3o \u201co atributo $A$ de elementos de um conjunto\u201d. E, para isso, o caminho seguido por eles foi definir uma rela\u00e7\u00e3o de equival\u00eancia entre dois elementos de um conjunto e, em seguida, considerar o conjunto das classes induzido por essa rela\u00e7\u00e3o, isto \u00e9, cada uma delas passando a ser \u201co atributo $A$\u201d. Por exemplo, para definir o comprimento de um segmento de reta, num dado universo $U=\\{AB, CD, EF,…\\}$ de segmentos de reta, recorre-se a rela\u00e7\u00e3o de equival\u00eancia \u201cter o mesmo comprimento\u201d, a ser verificada entre dois segmentos de reta, e ent\u00e3o, forma-se o conjunto $\\boldsymbol{U = \\{AB, CD, EF, …\\}}$ das classes de equival\u00eancia de $U$ com respeito a essa rela\u00e7\u00e3o de equival\u00eancia, e cada uma dessas classes, $\\boldsymbol{AB}$, passa a ser, ent\u00e3o, o comprimento de $\\boldsymbol{AB}$.<\/h3>\n

O procedimento adotado pelos autores para uma Grandeza arbitr\u00e1ria $\\boldsymbol{G}$ iniciou por tomar um conjunto $G=\\{x, y, z, …\\}$. Ent\u00e3o, definiu-se uma rela\u00e7\u00e3o de equival\u00eancia \u00a0entre os elementos de $G$. Ou seja, uma rela\u00e7\u00e3o que satisfa\u00e7a, para quaisquer elementos $x$, $y$ e $z$ de $G$, as seguintes condi\u00e7\u00f5es:<\/h3>\n

Axioma 1<\/strong>. $x \\sim x$ (reflexividade);<\/h3>\n

Se $x \\sim x$ diz-se que “$x$ e $y$ s\u00e3o equivalentes com respeito \u00e0 Grandeza $G$\u201d. Na interpreta\u00e7\u00e3o do exemplo dos segmentos de reta, tem-se: \u201c$AB$ e $CD$ s\u00e3o equivalentes com respeito ao comprimento\u201d ou simplesmente \u201c$AB$ e $CD$ t\u00eam o mesmo comprimento\u201d (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

Axioma 2<\/strong>. $x \\sim y \\Leftrightarrow y \\sim x$ (simetria);<\/h3>\n

Axioma 3<\/strong>. $x \\sim y, y \\sim z \\Rightarrow x \\sim z$ (transitividade).<\/h3>\n

Em seguida, os autores admitiram a exist\u00eancia de uma rela\u00e7\u00e3o em $G$ simbolizada por $\\prec$, tal que, para dois elementos quaisquer $x$ e $y$ pertencentes a $G$, ocorre uma e s\u00f3 uma das situa\u00e7\u00f5es:<\/h3>\n

Axioma 4<\/strong>. $x \\prec y, x \\sim y$ ou $y \\prec x$ (tricotomia).<\/h3>\n

Se $x \\prec y$ diz-se \u201c$x$ \u00e9 menor do que $y$\u201d. No caso dos segmentos de reta $AB \\prec CD$ deve-se ler \u201c$AB$ tem comprimento menor do que $CD$\u201d. A transitividade dessa rela\u00e7\u00e3o \u00e9 tamb\u00e9m suposta (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>):<\/h3>\n

Axioma 5<\/strong>. $\\forall x, y \\in X, x \\prec y, y \\prec z \\Rightarrow x \\prec z$.<\/h3>\n

Utilizando os axiomas de 1 a 5, os autores deduziram duas proposi\u00e7\u00f5es, v\u00e1lidas para quaisquer $x, y, z$ no conjunto $G$:<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 1<\/strong>. $x \\prec y$ e $y \\sim z \\Rightarrow x \\prec z$.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 2<\/strong>. $x \\sim y$ e $y \\prec z \\Rightarrow x \\prec z$.<\/h3>\n

Neste ponto, os autores ressaltaram o fato de que toda rela\u00e7\u00e3o de equival\u00eancia num conjunto $G$ permite definir o conjunto das classes de equival\u00eancia que s\u00e3o constitu\u00eddas tomando-se, para cada elemento $x$ em $G$, a classe $\\boldsymbol{x}$ de todos os elementos equivalentes a $x$. Forma-se, ent\u00e3o, o conjunto $\\boldsymbol{G=\\{x, y, z, …\\}}$, denominado um “dom\u00ednio de quantidades de Grandeza $\\boldsymbol G$”. Os elementos $\\boldsymbol {x, y, z, …}$ de $\\boldsymbol G$ s\u00e3o “quantidades da Grandeza $\\boldsymbol G$”,<\/em> ou, nos casos em que a Grandeza $\\boldsymbol G$ \u00e9 subentendida, simplesmente “quantidades”. Tamb\u00e9m, chamam-se os elementos $(x, y, z, …)$ de $\\boldsymbol G$ de “valores da Grandeza $\\boldsymbol G$”, ou apenas Grandezas. No mais, quando se est\u00e1 lidando com mais de uma Grandeza, a express\u00e3o \u201cdom\u00ednio de quantidades da Grandeza $G$\u201d \u00e9, em geral, simplificada para \u201cGrandeza $\\boldsymbol G$\u201d, ou mesmo, \u201c$\\boldsymbol G$\u201d.<\/h3>\n

Pelo Axioma 4, todos os elementos do conjunto $G$ passam a ser compar\u00e1veis, obtendo-se uma rela\u00e7\u00e3o de ordem total. Assim, os autores transportaram para o conjunto $\\boldsymbol G$, das classes de equival\u00eancia, essa rela\u00e7\u00e3o de ordem definida no conjunto base $G$. Para duas classes quaisquer $\\boldsymbol {x, y}$ pertencentes a $\\boldsymbol G$, definiram<\/h3>\n

$\\boldsymbol{x<y} \\Leftrightarrow \\exists x \\in \\boldsymbol{x},\\exists y \\in \\boldsymbol{y}: x \\prec y$.<\/h3>\n

As Proposi\u00e7\u00f5es 1 e 2 garantem que a defini\u00e7\u00e3o acima n\u00e3o depende dos representantes $x$ e $y$ escolhidos nas respectivas classes $\\boldsymbol{x}$ e $\\boldsymbol{y}$, assegurando que a rela\u00e7\u00e3o de ordem acima est\u00e1 bem definida. Al\u00e9m disso, a igualdade $\\boldsymbol{x=y}$, sendo uma igualdade entre dois conjuntos, significa que todo elemento de $\\boldsymbol x$ pertence a $\\boldsymbol y$ e, reciprocamente, todo elemento de $\\boldsymbol y$ pertence a $\\boldsymbol x$. Dessa maneira, para $\\boldsymbol{x=y}$, se $x \\in \\boldsymbol{x}$ e $y \\in \\boldsymbol{y}$, ent\u00e3o $x \\sim y$ (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

Os axiomas e propriedades que regem as rela\u00e7\u00f5es $\\sim$ e $\\prec$ foram traduzidas pelos autores em proposi\u00e7\u00f5es relativas ao conjunto $\\boldsymbol G$ das classes e podem ser demonstradas sem dificuldades (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 3<\/strong>. A rela\u00e7\u00e3o $\\sim$ no conjunto $\\boldsymbol G$ \u00e9 uma rela\u00e7\u00e3o de equival\u00eancia, ou seja, \u00e9 uma rela\u00e7\u00e3o reflexiva, sim\u00e9trica e transitiva.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 4<\/strong>. Para quaisquer $\\boldsymbol{x, y \\in G}$ , verifica-se uma e s\u00f3 uma das alternativas: $\\boldsymbol{x<y}$; $\\boldsymbol{x=y}$; $\\boldsymbol{y<x}$.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 5<\/strong>. Para quaisquer $\\boldsymbol{x, y, z \\in G, x<y, y=z \\Rightarrow x < z} $.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 6<\/strong>. Para quaisquer $\\boldsymbol{x, y, z \\in G, x=y, y<z \\Rightarrow x<z}$.<\/h3>\n

Resulta das propriedades enunciadas que a rela\u00e7\u00e3o $<$ \u00e9 uma rela\u00e7\u00e3o de ordem estrita no conjunto $\\boldsymbol G$, pois, em virtude da Proposi\u00e7\u00e3o 4, dois elementos quaisquer de $\\boldsymbol G$ s\u00e3o sempre compar\u00e1veis (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

Assim, destacaram os autores, as Grandezas que satisfazem as propriedades formalizadas acima podem ser chamadas Grandezas ordinais<\/em> e \u00e9 poss\u00edvel aritmetizar tais Grandezas, isto \u00e9, estabelecer uma fun\u00e7\u00e3o que associe a cada quantidade um n\u00famero. Mas, para essa correspond\u00eancia, \u00e9 necess\u00e1rio que haja isomorfismo entre as estruturas de ordem nas grandezas nos n\u00fameros reais, ou seja, se uma quantidade \u00e9 menor do que outra o n\u00famero associado a primeira deve ser menor do que o da segunda.<\/h3>\n

Os autores destacaram que o maior interesse da exposi\u00e7\u00e3o feita residiu nas Grandezas que, al\u00e9m de ordinais, admitem uma opera\u00e7\u00e3o de adi\u00e7\u00e3o entre as suas quantidades. Essas Grandezas, ordinais e aditivas, s\u00e3o chamadas “Grandezas mensur\u00e1veis”. No que se segue, os autores procuraram axiomatizar uma opera\u00e7\u00e3o de adi\u00e7\u00e3o que modelize, por exemplo, a opera\u00e7\u00e3o de colocar um segmento de reta com a origem coincidindo com a extremidade de outro, alinhados, para produzir uma combina\u00e7\u00e3o de dois segmentos.<\/h3>\n

Assim, iniciaram por introduzir axiomaticamente uma adi\u00e7\u00e3o em $G$, definindo-a, no entanto, apenas para elementos $x, y$ que sejam distintos. Esta \u00faltima restri\u00e7\u00e3o reflete a impossibilidade f\u00edsica de se efetuar a combina\u00e7\u00e3o dita anteriormente com apenas um segmento de reta (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>):<\/h3>\n

Axioma 6<\/strong>. Para dois elementos distintos quaisquer de $G$ define-se um elemento de $G$, simbolizado por $x \\oplus y$, que satisfaz as seguintes condi\u00e7\u00f5es para qualquer $z \\in G$, desde que as adi\u00e7\u00f5es estejam definidas:<\/h3>\n

i)<\/em> $x \\oplus (y \\oplus z)=(x \\oplus y) \\oplus z$ (associatividade);<\/h3>\n

ii)<\/em> $x \\oplus y=y \\oplus x$ (comutatividade);<\/h3>\n

iii)<\/em> $x \\sim y$ e $z \\sim w \\Rightarrow (x \\oplus z) \\sim (y \\oplus w)$;<\/h3>\n

iv)<\/em> $x \\prec x \\oplus y$;<\/h3>\n

v)<\/em> $x \\prec y \\Rightarrow \\exists w \\in G:y=x \\oplus w$.<\/h3>\n

Os autores, utilizando o procedimento padr\u00e3o, transportaram para o conjunto $\\boldsymbol G$ das classes de equival\u00eancia de $G$ relativamente \u00e0 rela\u00e7\u00e3o $\\sim$, definindo uma opera\u00e7\u00e3o bin\u00e1ria em $\\boldsymbol G$, por meio dos representantes das classes de $\\boldsymbol G$. Para contornar a dificuldade na defini\u00e7\u00e3o de $x \\oplus y$, em que \u00e9 necess\u00e1rio supor $x\\neq y$, e, al\u00e9m do mais, possibilitar a adi\u00e7\u00e3o de um n\u00famero qualquer de parcelas, os autores introduziram outro axioma:<\/h3>\n

Axioma 7<\/strong>. Para cada $x \\in G$, existe um n\u00famero infinito de elementos $y \\in G$, tais que $x \\sim y$ e $x \\neq y$.<\/h3>\n

Esse axioma equivale ao requisito de que as classes de $\\boldsymbol G$ possuem um n\u00famero infinito de elementos. Com base no que eles admitiram anteriormente, \u00e9 poss\u00edvel, ent\u00e3o, definir a opera\u00e7\u00e3o bin\u00e1ria desejada (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>):<\/h3>\n

Defini\u00e7\u00e3o 1<\/strong>. Sejam $\\boldsymbol x$ e $\\boldsymbol y$ elementos de $\\boldsymbol G$. Tomem-se $x \\in \\boldsymbol{x}$ e $y \\in \\boldsymbol{y}$, efetue-se a adi\u00e7\u00e3o $x \\oplus y=z$ e considere-se a classe $\\boldsymbol z$ do elemento $z$. Por defini\u00e7\u00e3o, $\\boldsymbol{x+y=z}$.<\/h3>\n

Primeiro, foi destacado pelos autores que \u00e9 poss\u00edvel efetuar a opera\u00e7\u00e3o $x+x$, pois o Axioma 7 permite a escolha de representantes distintos na classe $\\boldsymbol x$. Em seguida, foi notado que \u00e9 poss\u00edvel transportar as propriedades da adi\u00e7\u00e3o v\u00e1lidas para o conjunto base $G$, para o conjunto das classes $\\boldsymbol G$, enunciado no que se segue.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 7<\/strong>. Para quaisquer $\\boldsymbol{x, y, z \\in G, (x+y)+z=x+(y+z)}$.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 8<\/strong>. Para quaisquer $\\boldsymbol{x, y \\in G, x+y=y+x}$.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 9<\/strong>. Para quaisquer $\\boldsymbol{x, y, z \\in G, x<y \\Leftrightarrow x+z<y+z}$.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 10<\/strong>. Para quaisquer $\\boldsymbol{x, y \\in G, x<x+y}$.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 11<\/strong>. Para quaisquer $\\boldsymbol{x, y \\in G, x<y \\Leftrightarrow \\exists z \\in G:y=x+z}$.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 12<\/strong>. Para quaisquer $\\boldsymbol{x, y, z \\in G, x<y,y=z \\Rightarrow x<z}$.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 13<\/strong>. Para quaisquer $\\boldsymbol{x, y, z, w \\in G}$,<\/h3>\n

$\\boldsymbol{x<y, z<w \\Rightarrow x+z<y+w}$.<\/h3>\n

Completada a axiomatiza\u00e7\u00e3o da adi\u00e7\u00e3o de quantidades de uma Grandeza, os autores passaram a considerar uma multiplica\u00e7\u00e3o de uma quantidade por um n\u00famero $n \\in \\mathbb{N}$. A ideia \u00e9 considerar uma opera\u00e7\u00e3o do conjunto $\\mathbb{N}=\\{1, 2, 3, 4, …\\}$ sobre o conjunto $\\boldsymbol G$ (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

Dado um natural $n$ e um elemento $\\boldsymbol x$ de $\\boldsymbol G$ definem $n \\boldsymbol{x=x+x+x+…+x}$ ($n$ vezes).<\/h3>\n

Mais rigorosamente, definem tal opera\u00e7\u00e3o usando a regra de recorr\u00eancia:<\/h3>\n

$1 \\boldsymbol{x}=\\boldsymbol{x}$<\/h3>\n

$(n+1) \\boldsymbol{x}=n \\boldsymbol{x}\\boldsymbol{+} \\boldsymbol{x}, n=2, 3, 4, …$<\/h3>\n

Nessa defini\u00e7\u00e3o, sendo o operador a multiplica\u00e7\u00e3o, a primeira linha diz que $1$ multiplicado pela classe $\\boldsymbol{x}$ \u00e9 igual a pr\u00f3pria classe $\\boldsymbol{x}$. Na segunda linha dessa defini\u00e7\u00e3o, usando recorr\u00eancia, temos \u00e0 esquerda da igualdade (utilizando o leitor como refer\u00eancia) $n+1$ multiplicado pela classe $\\boldsymbol{x}$, que \u00e9 igual a $n \\boldsymbol{x+x}$, \u00e0 direita da igualdade. Note que os dois sinais de adi\u00e7\u00e3o que aparecem nessa igualdade t\u00eam naturezas distintas e est\u00e3o em mundos diferentes. No lado esquerdo, esse sinal de adi\u00e7\u00e3o $n+1$ \u00e9 a adi\u00e7\u00e3o que aprendemos ao estudarmos os Axiomas de Peano, est\u00e1 relacionada a ideia de sucessor. J\u00e1 o sinal de adi\u00e7\u00e3o do lado direito da igualdade \u00e9 o operador de classes da Defini\u00e7\u00e3o 1<\/a>.<\/h3>\n

Do ponto de vista matem\u00e1tico, os autores definiram uma a\u00e7\u00e3o do monoide cujo conjunto base \u00e9 o conjunto dos n\u00fameros naturais e cuja opera\u00e7\u00e3o bin\u00e1ria \u00e9 o produto usual (produto usual de n\u00fameros reais) sobre o conjunto das classes de equival\u00eancia definidas pela rela\u00e7\u00e3o de equival\u00eancia $\\sim$, o conjunto $\\boldsymbol{G}$. Em outras palavras, \u00e9 uma a\u00e7\u00e3o do monoide dos naturais com a multiplica\u00e7\u00e3o usual sobre o conjunto $\\boldsymbol{G}$ das classes de equival\u00eancia.<\/h3>\n

Ao utilizar essa a\u00e7\u00e3o os autores obt\u00eam ganhos significativos. Um deles, \u00e9 que se ganha, de imediato, uma identifica\u00e7\u00e3o envolvendo dois sinais distintos de mundos distintos (a igualdade da segunda linha). Um segundo ganho significativo \u00e9 que se tem uma distributividade tal qual como funciona na adi\u00e7\u00e3o e multiplica\u00e7\u00e3o de n\u00fameros reais, por exemplo. Uma outra contribui\u00e7\u00e3o tamb\u00e9m significativa \u00e9 que, em decorr\u00eancia dessa identifica\u00e7\u00e3o que os autores fizeram, das Proposi\u00e7\u00f5es 14 \u00e0 26 se ganha um arcabou\u00e7o te\u00f3rico de propriedades que permitem ter uma estrutura de anel, mais especificamente para esse trabalho, um anel booleno, que \u00e9 o espa\u00e7o adequado onde trabalhamos Teoria da Medida.<\/h3>\n

As propriedades abaixo foram apresentadas pelos autores:<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 14<\/strong>. Para todo $\\boldsymbol{x, y \\in G}$ e para todo $m, n \\in \\mathbb{N}$, s\u00e3o v\u00e1lidas as igualdades:<\/h3>\n

i)<\/em> $(m+n) \\boldsymbol{x}=m \\boldsymbol{x}+n \\boldsymbol{x}$;<\/h3>\n

ii)<\/em> $(m, n) \\boldsymbol{x}=m(n \\boldsymbol{x})$;<\/h3>\n

iii)<\/em> $n \\boldsymbol{(x+y)}=n \\boldsymbol{x}+n \\boldsymbol{y}$.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 15<\/strong>. Para todo $ \\boldsymbol{x \\in G}$ e para todo $m, n \\in \\mathbb{N}, m<n \\Leftrightarrow m \\boldsymbol{x}<n \\boldsymbol{x}$.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 16<\/strong>. Para todo $\\boldsymbol{x \\in G}$ e para todo $m,n \\in \\mathbb{N}, m=n \\Leftrightarrow m \\boldsymbol{x}=n \\boldsymbol{x}$.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 17<\/strong>. Para todo $\\boldsymbol{x, y \\in G}$ e para todo $n \\in \\mathbb{N}, \\boldsymbol{x<y} \\Leftrightarrow n \\boldsymbol{x}<n \\boldsymbol{y}$.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 18<\/strong>. Para todo $\\boldsymbol{x, y \\in G}$ e para todo $n \\in \\mathbb{N}, \\boldsymbol{x=y} \\Leftrightarrow n \\boldsymbol{x}=n \\boldsymbol{y}$.<\/h3>\n

As proposi\u00e7\u00f5es acima fornecem as regras de uma “\u00e1lgebra das quantidades” (ou uma “\u00e1lgebra das Grandezas”) no caso de os coeficientes serem n\u00fameros naturais. A etapa seguinte que os autores percorreram \u00e9 a extens\u00e3o dessa \u00e1lgebra para os coeficientes no conjunto $\\mathbb{Q}^{+}$ dos racionais estritamente positivos (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>). Para isso, os autores introduziram a divis\u00e3o de uma quantidade por um n\u00famero natural e iniciaram por observar que, para cada $n \\in \\mathbb{N}$, pode ser definido um operador:<\/h3>\n

$f_{n}: \\boldsymbol{G \\rightarrow G}$<\/h3>\n

$x \\rightarrow f_{n}(\\boldsymbol{x})=n \\boldsymbol{x}$<\/h3>\n

A Proposi\u00e7\u00e3o 17 mostra que, se $x<y$ ent\u00e3o $n \\boldsymbol{x}<n \\boldsymbol{y}$. Assim, a fun\u00e7\u00e3o $f_{n}$ \u00e9 injetiva de $\\boldsymbol G$ em $\\boldsymbol G$ (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>). Os autores adotaram, ent\u00e3o, o seguinte axioma:<\/h3>\n

Axioma 8<\/strong>. (Divisibilidade) Dados $\\boldsymbol{x \\in G}$ e $n \\in \\mathbb{N}$, existe $\\boldsymbol{y \\in G}$ tal que $\\boldsymbol{x}=n \\boldsymbol{y}$.<\/h3>\n

O elemento $\\boldsymbol{y}$ acima definido \u00e9 dito a $\\boldsymbol n$-\u00e9sima parte de <\/strong>$\\boldsymbol x$ sendo simbolizado por $\\boldsymbol{y}=\\frac{1}{n} \\boldsymbol{x}$. Como a fun\u00e7\u00e3o $f_{n}$ \u00e9 injetiva o elemento $\\boldsymbol y$ \u00e9 \u00fanico. P\u00f4de-se, ent\u00e3o, ser definido o operador <\/strong> $\\boldsymbol n$-\u00e9sima parte<\/strong>, a saber, a fun\u00e7\u00e3o $g_{n}(\\boldsymbol{x})=\\frac{1}{n}\\boldsymbol{x}$ (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

O coeficiente $1\/n$ na express\u00e3o de $g_{n}$ n\u00e3o \u00e9 o n\u00famero racional $1\/n$, mas apenas uma nota\u00e7\u00e3o que caracteriza de forma conveniente o operador $g_{n}$ (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>). A identifica\u00e7\u00e3o deste operador com o n\u00famero racional \u00e9 precisamente o objetivo das etapas que se seguem da explana\u00e7\u00e3o dos autores. Para isso, desenvolveram regras operat\u00f3rias com os coeficientes $1\/n$ que imitam aquelas j\u00e1 obtidas para os coeficientes naturais. Foi preciso, no entanto, que os autores contornassem nesta etapa express\u00f5es do tipo $(1\/n+1\/m) \\boldsymbol{x}$ ou do tipo $[(1\/m)(1\/n)] \\boldsymbol{x}$, pois ainda n\u00e3o seria poss\u00edvel atribuir significado a tais express\u00f5es.<\/h3>\n

As primeiras propriedades que ser\u00e3o mencionadas resultaram diretamente da defini\u00e7\u00e3o do operador $g_{n}$:<\/h3>\n

$n(\\frac{1}{n} \\boldsymbol{x})= \\boldsymbol{x}$,<\/h3>\n

$\\frac{1}{n}(n \\boldsymbol{x})= \\boldsymbol{x}$.<\/h3>\n

Outras propriedades se seguiram e s\u00e3o demonstradas pelos autores:<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 19<\/strong>. Para todo $\\boldsymbol{x, y \\in G}$ e para todo $m, n \\in \\mathbb{N}$, tem-se:<\/h3>\n

i)<\/em> $\\frac{1}{m} \\boldsymbol{x}+ \\frac{1}{n} \\boldsymbol{x}= \\frac{1}{mn}[(m+n) \\boldsymbol{x}]$;<\/h3>\n

ii)<\/em> $\\frac{1}{m} \\frac{1}{n} \\boldsymbol{x}= \\frac{1}{mn} \\boldsymbol{x}$;<\/h3>\n

iii)<\/em> $\\frac{1}{m}(\\boldsymbol{x+y})= \\frac{1}{m} \\boldsymbol{x}+ \\frac{1}{m} \\boldsymbol{y}$.<\/h3>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o<\/em> da primeira igualdade:<\/h3>\n

i)<\/em> $mn[\\frac{1}{m} \\boldsymbol{x}+ \\frac{1}{n} \\boldsymbol{x}]=mn(\\frac{1}{m} \\boldsymbol{x})+mn(\\frac{1}{n} \\boldsymbol{x})=n[m(\\frac{1}{m} \\boldsymbol{x})]+m[n(\\frac{1}{n} \\boldsymbol{x})]=$<\/h3>\n

$n \\boldsymbol{x}+m \\boldsymbol{x}=(n+m) \\boldsymbol{x}$.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 20<\/strong>. Para todo $\\boldsymbol{x, y \\in G}$ e para todo $m,n \\in \\mathbb{N}$, tem-se:<\/h3>\n

i)<\/em> $\\frac{1}{m} \\boldsymbol{x}< \\frac{1}{n} \\boldsymbol{x} \\Leftrightarrow n<m$,<\/h3>\n

ii)<\/em> $\\frac{1}{m} \\boldsymbol{x}= \\frac{1}{n} \\boldsymbol{x} \\Leftrightarrow m=n$,<\/h3>\n

iii)<\/em> $\\frac{1}{n} \\boldsymbol{x}< \\frac{1}{n} \\boldsymbol{y} \\Leftrightarrow \\boldsymbol{x<y}$,<\/h3>\n

iv)<\/em> $\\frac{1}{n} \\boldsymbol{x}= \\frac{1}{n} \\boldsymbol{y} \\Leftrightarrow \\boldsymbol{x=y}$.<\/h3>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o<\/em> da primeira parte da proposi\u00e7\u00e3o:<\/h3>\n

$(\\Leftarrow)$ Suponha-se que $n<m$. Se n\u00e3o se tem $(1\/m) \\boldsymbol{x}<(1\/n) \\boldsymbol{x}$, dever-se-\u00e1 ter $(1\/m) \\boldsymbol{x}=(1\/n) \\boldsymbol{x}$ ou $(1\/n) \\boldsymbol{x}<(1\/m) \\boldsymbol{x}$. No primeiro caso, vir\u00e1 $mn(1\/m) \\boldsymbol{x}=mn(1\/n) \\boldsymbol{x}$, donde resulta $n\\boldsymbol{x}=m\\boldsymbol{x}$ e, portanto, $n=m$, contrariando a hip\u00f3tese. No segundo caso, deduz-se que $mn(1\/n) \\boldsymbol{x}<mn(1\/m) \\boldsymbol{x}$, que implica na desigualdade $m \\boldsymbol{x}<n \\boldsymbol{x}$ e, portanto, $m<n$, o que contradiz a hip\u00f3tese (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

$(\\Rightarrow)$ Seja $(1\/m) \\boldsymbol{x}<(1\/n) \\boldsymbol{x}$. Suponha, por absurdo, que n\u00e3o ocorre $n<m$. Dever\u00e1, ent\u00e3o ser $m=n$ ou $m<n$. No primeiro caso tem-se, de imediato, $(1\/m) \\boldsymbol{x}=(1\/n) \\boldsymbol{x}$, contradizendo a hip\u00f3tese. Na segunda alternativa, levando em conta a proposi\u00e7\u00e3o direta resulta $(1\/n) \\boldsymbol{x}<(1\/m) \\boldsymbol{x}$, contrariamente \u00e0 hip\u00f3tese. Logo, $n<m$, como se queria provar (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

Neste ponto, os autores trataram de compor dois operadores $f_{m}$ e $g_{n}$ sendo $m, n \\in \\mathbb{N}$. Uma propriedade \u00fatil para essa defini\u00e7\u00e3o foi dada na:<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 21<\/strong>. Para todo $\\boldsymbol{x \\in G}$ e para todo $m, n \\in \\mathbb{N}$, tem-se $m(\\frac{1}{n} \\boldsymbol{x})= \\frac{1}{n}(m \\boldsymbol{x})$.<\/h3>\n

Definiu-se, ent\u00e3o,<\/h3>\n

$f_{m} \\circ g_{n}:G \\rightarrow G$<\/h3>\n

$x \\rightarrow (f_{m} \\circ g_{n}) (\\boldsymbol{x})=m(\\frac{1}{n} \\boldsymbol{x})= \\frac{1}{n}(m \\boldsymbol{x})$.<\/h3>\n

O operador acima foi representado por $(f_{m} \\circ g_{n}) (\\boldsymbol{x})= \\frac{m}{n} \\boldsymbol{x}$.<\/h3>\n

Novamente, neste ponto, os autores advertiram que o coeficiente da Grandeza na defini\u00e7\u00e3o acima n\u00e3o representa um n\u00famero racional e sim uma nota\u00e7\u00e3o para o operador composto de uma multiplica\u00e7\u00e3o por um n\u00famero natural $m$ com uma divis\u00e3o pelo n\u00famero natural $n$. Seguindo etapas an\u00e1logas \u00e0s que foram seguidas quando se tratava de $n \\boldsymbol{x}$ e de $(1\/n) \\boldsymbol{x}$, podem ser demonstradas as proposi\u00e7\u00f5es que se seguem.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 22<\/strong>. Para todo $\\boldsymbol{x, y \\in G}$ e para todo $m, n, p, q \\in \\mathbb{N}$, tem-se:<\/h3>\n

i)<\/em> $\\frac{m}{n} \\boldsymbol{x}+ \\frac{p}{q} \\boldsymbol{x}= \\frac{mq+np}{nq} \\boldsymbol{x}$,<\/h3>\n

ii)<\/em> $\\frac{m}{n}(\\frac{p}{q} \\boldsymbol{x})= \\frac{mp}{nq} \\boldsymbol{x}$,<\/h3>\n

iii)<\/em> $\\frac{m}{n}(\\boldsymbol{x+y})= \\frac{m}{n} \\boldsymbol{x}+ \\frac{m}{n} \\boldsymbol{y}$.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 23<\/strong>. Para todo $\\boldsymbol{x, y \\in G}$ e para todo $m, n, p, q \\in \\mathbb{N}$, tem-se:<\/h3>\n

i)<\/em> $\\frac{m}{n} \\boldsymbol{x}< \\frac{p}{q} \\boldsymbol{x} \\Leftrightarrow mq<np$,<\/h3>\n

ii)<\/em> $\\frac{m}{n} \\boldsymbol{x}= \\frac{p}{q} \\boldsymbol{x} \\Leftrightarrow mq=np$,<\/h3>\n

iii)<\/em> $\\frac{m}{n} \\boldsymbol{x}< \\frac{m}{n} \\boldsymbol{y} \\Leftrightarrow \\boldsymbol{x<y}$,<\/h3>\n

iv)<\/em> $\\frac{m}{n} \\boldsymbol{x}= \\frac{m}{n} \\boldsymbol{y} \\Leftrightarrow \\boldsymbol{x=y}$.<\/h3>\n

As condi\u00e7\u00f5es sobre $m, n, p$ e $q$ da Propriedade i)<\/em> foram apresentadas da forma indicada pelo fato de que nessa exposi\u00e7\u00e3o ainda n\u00e3o tinham sido atribu\u00eddos significados para rela\u00e7\u00f5es do tipo $(m\/n)<(p\/q)$ (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 24<\/strong>. Para todo $\\boldsymbol{x \\in G}$ e para todo $m, n, p, q \\in \\mathbb{N}$, tem-se $\\frac{m}{n} \\boldsymbol{x}= \\frac{km}{kn} \\boldsymbol{x}$.<\/h3>\n

Os autores destacaram que a proposi\u00e7\u00e3o acima permite que se possam eliminar fatores primos comuns aos n\u00fameros que comp\u00f5em o par ordenado representado por $m\/n$. Dado um par ordenado $m\/n$, o procedimento referido permite definir um par ordenado $m’\/n’$, denominado par ordenado reduzido de $m\/n$, em que $m’$ e $n’$ s\u00e3o primos entre si e $m=km’$ e $n=kn’$, para algum n\u00famero natural $k$.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 25<\/strong>. Seja $\\boldsymbol{x}$ um elemento qualquer de $\\boldsymbol G$. Se $m$ e $n$ s\u00e3o primos entre si e se $\\frac{m}{n} \\boldsymbol{x}= \\frac{p}{q} \\boldsymbol{x}$ ent\u00e3o, existe um n\u00famero natural $k$ tal que $p=km$ e $q=kn$.<\/h3>\n

Proposi\u00e7\u00e3o 26<\/strong>. Dois operadores $f_{m} \\circ g_{n}$ e $f_{p} \\circ g_{p}$ t\u00eam o mesmo efeito sobre um elemento de $\\boldsymbol G$ se, e somente se, os pares reduzidos de $m\/n$ e de $p\/q$ forem iguais.<\/h3>\n

As proposi\u00e7\u00f5es que foram enunciadas at\u00e9 aqui permitiram que se considere o conjunto dos operadores $f_{m} \\circ g_{n}$, para $m$ e $n$ arbitr\u00e1rios, e que nesse conjunto se possa definir a rela\u00e7\u00e3o de equival\u00eancia induzida pela Proposi\u00e7\u00e3o 26. Com isso, foi poss\u00edvel definir um espa\u00e7o $F$ de classes de operadores sobre $\\boldsymbol G$ denominadas operadores de fracionamento <\/em>ou operadores racionais<\/em> (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>). Os autores tomaram, ent\u00e3o, nesse espa\u00e7o, as opera\u00e7\u00f5es de adi\u00e7\u00e3o e decomposi\u00e7\u00e3o de classes de operadores induzidas pelas igualdades v\u00e1lidas para quaisquer $f_{m} \\circ g_{n}$ e $f_{p} \\circ g_{p}$:<\/h3>\n

$[(f_{m} \\circ g_{n})+(f_{p} \\circ g_{p})] (\\boldsymbol{x})= \\frac{m}{n} \\boldsymbol{x}+ \\frac{p}{q} \\boldsymbol{x}= \\frac{mq+np}{nq} \\boldsymbol{x}$,<\/h3>\n

$[(f_{m} \\circ g_{n}) \\circ (f_{p} \\circ g_{p})] (\\boldsymbol{x})= \\frac{m}{n} (\\frac{p}{q} \\boldsymbol{x})= \\frac{mp}{nq}\\boldsymbol{x}$.<\/h3>\n

\u00c9 poss\u00edvel provar que o espa\u00e7o $<F, +>$, constitu\u00eddo pelo conjunto $F$ e pela opera\u00e7\u00e3o de adi\u00e7\u00e3o, \u00e9 um semigrupo comutativo. Igualmente, \u00e9 um semigrupo comutativo o espa\u00e7o $<F, \\circ>$ e, al\u00e9m disso, \u00e9 v\u00e1lida a distributividade da opera\u00e7\u00e3o de composi\u00e7\u00e3o relativamente \u00e0 adi\u00e7\u00e3o (BELLEMAIN, LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

Os autores consideraram, ent\u00e3o, o conjunto $\\mathbb{Q}^{+}$ dos racionais estritamente positivos, munido das opera\u00e7\u00f5es usuais de adi\u00e7\u00e3o e multiplica\u00e7\u00e3o de racionais. Verifica-se, por meio de uma demonstra\u00e7\u00e3o simples, que existe um isomorfismo entre as estruturas $<F, +, \\circ>$ e $<\\mathbb{Q}^{+}, +, \\cdot>$. Em outros termos, \u00e9 poss\u00edvel provar a exist\u00eancia de uma identifica\u00e7\u00e3o entre o espa\u00e7o de operadores de fracionamento e os n\u00fameros racionais estritamente positivos.<\/h3>\n

Por simplicidade, os autores sempre sup\u00f5em que os n\u00fameros naturais que definem o operador $f_{m} \\circ g_{n}$ s\u00e3o primos entre si, ou seja, s\u00e3o pares ordenados reduzidos; al\u00e9m disso para tornar mais leve a linguagem, dizemos o \u201coperador $f_{m} \\circ g_{n}$\u201d em vez de \u201ca classe do operador $f_{m} \\circ g_{n}$\u201d.<\/h3>\n

Uma observa\u00e7\u00e3o \u00e9 feita pelos autores. Na constru\u00e7\u00e3o do sistema axiom\u00e1tico exposto poderia ter sido considerado como conjunto dos coeficientes o conjunto dos naturais em vez do conjunto dos racionais positivos. Ent\u00e3o, ter-se-ia uma estrutura para o conceito de Grandeza do tipo $\\mathbb{N} \\boldsymbol{u}$, constitu\u00edda pelos m\u00faltiplos naturais de uma unidade $\\boldsymbol u$. Assim, essa estrutura inclui o pr\u00f3prio sistema dos n\u00fameros naturais, que podem ser entendidos como quantidades de uma Grandeza ou, simplesmente, como Grandezas. Desse modo, a unidade usada seria o n\u00famero 1. Esse \u00e9 o modelo abstrato das chamadas Grandezas discretas<\/strong>.<\/h3>\n

No entanto, adotando o conjunto dos n\u00fameros racionais para os coeficientes, como foi apresentado, v\u00ea-se, similarmente, que os racionais positivos podem ser interpretados como Grandezas. Neste caso, temos um modelo abstrato de Grandeza indefinidamente divis\u00edvel que possui continuidade. De fato, apenas quando se toma, nesse tipo de sistema axiom\u00e1tico adotado, os n\u00fameros reais como o conjunto dos coeficientes do sistema, pode-se obter um modelo abstrato para as Grandezas cont\u00ednuas <\/strong>(BELLEMAIN, LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

Essa \u00e9 uma axiom\u00e1tica constru\u00edda pelos autores que considera uma Grandeza como um conjunto de objetos, ditos quantidades dessa Grandeza, no qual est\u00e1 definida uma rela\u00e7\u00e3o de ordem, uma opera\u00e7\u00e3o interna de soma de duas quantidades e uma opera\u00e7\u00e3o externa de produto de uma quantidade por um n\u00famero racional estritamente positivo. Os axiomas adotados permitiram construir uma “Grandeza”, ou um “dom\u00ednio de quantidades”, como um semiespa\u00e7o vetorial, $\\mathbb{Q}^{+} \\boldsymbol{u}$, constitu\u00eddo pelos m\u00faltiplos, $r \\boldsymbol{u}$, de uma dada quantidade $\\boldsymbol{u}$, escolhida arbitrariamente como unidade de medida<\/strong>.<\/h3>\n

Al\u00e9m disso, de acordo com os autores, tais axiomas delimitam as regras de uma “\u00e1lgebra de quantidades” na qual s\u00e3o v\u00e1lidas, por exemplo, igualdades do tipo $200 cm=2 m$ em que expressa igualdade entre duas quantidades da Grandeza comprimento, isto \u00e9, uma igualdade entre dois comprimentos. Ou seja, \u00e9 uma igualdade que expressa um mesmo comprimento representado em duas unidades diferentes, no caso, o cent\u00edmetro e o metro. Ou ainda, $2 cm+5 cm=(2+5) cm=7 cm$, que envolve a opera\u00e7\u00e3o de adi\u00e7\u00e3o de duas quantidades, um conceito primitivo (sem defini\u00e7\u00e3o, portanto) na estrutura matem\u00e1tica que foi apresentada. A validade dessa cadeia de igualdades resulta das regras adotadas como axiomas no mencionado sistema l\u00f3gico, bem como da defini\u00e7\u00e3o de $2 cm$ e $5 cm$, cada um deles sendo um produto de um n\u00famero racional por uma quantidade. Do ponto de vista formal, a \u00e1lgebra utilizada nesse exemplo \u00e9 inteiramente an\u00e1loga \u00e0 \u00e1lgebra dos polin\u00f4mios, na qual $2x+5x=7x$.<\/h3>\n

\u00a0<\/h3>\n

\u00a0<\/p>\n\n\n\n
\n

\"\"<\/a>
2.3 Grandezas e Medidas<\/h3>\n<\/td>\n

\n

\"\"<\/a>
In\u00edcio<\/h3>\n<\/td>\n

\n

\"\"<\/a>
2.3.2 Medida<\/h3>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[latexpage]Grandeza \u00e9 tudo aquilo que se pode pesar, medir e contar. De acordo com Bellemain e Lima (2002) a Grandeza tamb\u00e9m pode ser vista como uma propriedade dos objetos; o aspecto de sua conserva\u00e7\u00e3o, isto \u00e9, o fato de que … Continue lendo →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":23,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-2747","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"\nBlog da Fernanda - 2.3.1 Grandeza<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Grandeza (parte do Referencial te\u00f3rico) da Disserta\u00e7\u00e3o de Mestrado de Fernanda - Laborat\u00f3rio MultiMeios da Universidade Federal do Cear\u00e1\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"http:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-1-grandeza\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pt_BR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Blog da Fernanda - 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