{"id":2794,"date":"2022-01-24T15:33:35","date_gmt":"2022-01-24T18:33:35","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/?page_id=2794"},"modified":"2024-08-18T14:10:42","modified_gmt":"2024-08-18T17:10:42","slug":"dissertacao-2-3-2-medida","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-2-medida\/","title":{"rendered":"2.3.2 Medida"},"content":{"rendered":"\n

[latexpage]Trazemos a defini\u00e7\u00e3o de Medida como est\u00e1 em Halmos (1950<\/a>, p. 30-31, tradu\u00e7\u00e3o nossa), no seu livro Measure Theory.<\/em><\/h3>\n

Uma fun\u00e7\u00e3o conjunto<\/strong> \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o cujo dom\u00ednio \u00e9 uma classe de conjuntos. Uma fun\u00e7\u00e3o conjunto de valor real estendida $\\mu$ definida em uma classe $\\boldsymbol E$ de conjuntos \u00e9 aditiva<\/strong> se, sempre que<\/h3>\n

$E \\in \\boldsymbol{E}, F \\in \\boldsymbol{E}, E \\cup F \\in \\boldsymbol{E}$ e $E \\cap F=0$, ent\u00e3o<\/h3>\n

$\\mu (E \\cup F)= \\mu (E)+ \\mu (F)$.<\/h3>\n

Uma fun\u00e7\u00e3o conjunto de valor real estendida $\\mu$ definida em uma classe $\\boldsymbol E$ \u00e9 finitamente aditiva<\/strong> se, para cada classe finita e disjunta $\\{E_{1}, …, E_{n}\\}$ de conjuntos em $\\boldsymbol E$ cuja uni\u00e3o tamb\u00e9m est\u00e1 em $\\boldsymbol E$, temos<\/h3>\n

$\\mu (\\bigcup_{i=1}^{n}E_{i})=\\sum_{i=1}^{n} \\mu(E_{i})$.<\/h3>\n

Uma fun\u00e7\u00e3o conjunto de valor real estendida $\\mu$ definida em uma classe $\\boldsymbol E$ \u00e9 contavelmente<\/strong> aditiva<\/strong> se, para cada sequ\u00eancia disjunta $\\{E_{i}\\}$ de conjuntos em $\\boldsymbol E$ cuja uni\u00e3o tamb\u00e9m est\u00e1 em $\\boldsymbol E$, temos<\/h3>\n

$\\mu (\\bigcup_{n=1}^{\\infty}E_{n})= \\sum_{n=1}^{\\infty} \\mu (E_{n})$.<\/h3>\n

Uma Medida<\/strong> \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o conjunto $\\mu$ de valor real estendida, n\u00e3o negativa e contavelmente aditiva, definida em um anel $\\boldsymbol R$, e tal que $\\mu(0)=0$. Em vista da identidade,<\/h3>\n

$\\bigcup_{i=1}^{n}E_{i}=E_{1} \\cup … \\cup E_{n} \\cup 0 \\cup 0 \\cup …$,<\/h3>\n

uma Medida \u00e9 sempre finitamente aditiva.<\/h3>\n

Apenas para lembrar, um anel<\/strong> (ou anel Booleano<\/strong>) de conjuntos \u00e9 uma classe $\\boldsymbol R$ n\u00e3o vazia de conjuntos tais que<\/h3>\n

$E \\in \\boldsymbol{R}$ e $F \\in \\boldsymbol{R}$, ent\u00e3o<\/h3>\n

$E \\cup F \\in \\boldsymbol{R}$ e $E-F \\in \\boldsymbol{R}$.<\/h3>\n

Ou seja, um anel \u00e9 uma classe de conjuntos n\u00e3o vazia, fechada sob a forma\u00e7\u00e3o de uni\u00f5es e diferen\u00e7as.<\/h3>\n

Vejamos um exemplo trivial de uma medida:<\/h3>\n

Seja $f$ uma fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o negativa de valor real estendida dos pontos de um conjunto $X$. Seja o anel $\\boldsymbol R$ composto por todos os subconjuntos finitos de $X$; define-se $\\mu$ por<\/h3>\n

$\\mu (\\{x_{1}, …, x_{n}\\})=\\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})$ e $\\mu(0)=0$.<\/h3>\n

Outros exemplos menos triviais:<\/h3>\n

Se $\\mu$ \u00e9 uma Medida em um anel $\\boldsymbol R$, um conjunto $E$ em $\\boldsymbol R$ \u00e9 dito ter medida<\/strong> finita<\/strong> se $\\mu (E)< \\infty$; a Medida de $E$ \u00e9 $\\boldsymbol{\\sigma}$-finita<\/strong> se existe uma sequ\u00eancia $\\{E_{n}\\}$ de conjuntos em $\\boldsymbol R$ tal que<\/h3>\n

$E \\subset \\bigcup_{n=1}^{\\infty}E_{n}$ e $\\mu (E_{n})< \\infty, n=1, 2, …$.<\/h3>\n

Se a Medida de cada conjunto $E$ em $\\boldsymbol R$ \u00e9 finita (ou $\\sigma$-finita), a Medida $\\mu$ \u00e9 chamada finita<\/strong> (ou $\\boldsymbol{\\sigma}$-finita<\/strong>) em $\\boldsymbol R$. Se $X \\in \\boldsymbol{R}$ (ou seja, se $\\boldsymbol R$ \u00e9 uma \u00e1lgebra) e $\\mu (X)$ \u00e9 finito ou $\\sigma$-finito, ent\u00e3o $\\mu$ \u00e9 chamado de totalmente<\/strong> finito<\/strong> ou totalmente<\/strong> $\\boldsymbol{\\sigma}$-finito<\/strong>, respectivamente. A Medida $\\mu$ \u00e9 chamada completa<\/strong> se as condi\u00e7\u00f5es<\/h3>\n

$E \\in \\boldsymbol{R}, F \\subset E$ e $\\mu (E)=0$<\/h3>\n

implica que $F \\in \\boldsymbol{R}$.<\/h3>\n

\u00a0<\/h3>\n\n\n\n
\n

\"\"<\/a>
2.3.1 Grandeza<\/h3>\n<\/td>\n

\n

\"\"<\/a>
In\u00edcio<\/h3>\n<\/td>\n

\n

\"\"<\/a>
2.3.3 Medida de \u00c1rea<\/h3>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":23,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-2794","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2794","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/users\/23"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2794"}],"version-history":[{"count":45,"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2794\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5313,"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2794\/revisions\/5313"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2794"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}