{"id":2794,"date":"2022-01-24T15:33:35","date_gmt":"2022-01-24T18:33:35","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/?page_id=2794"},"modified":"2024-08-18T14:10:42","modified_gmt":"2024-08-18T17:10:42","slug":"dissertacao-2-3-2-medida","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-2-medida\/","title":{"rendered":"2.3.2 Medida"},"content":{"rendered":"\n

[latexpage]Trazemos a defini\u00e7\u00e3o de Medida como est\u00e1 em Halmos (1950<\/a>, p. 30-31, tradu\u00e7\u00e3o nossa), no seu livro Measure Theory.<\/em><\/h3>\n

Uma fun\u00e7\u00e3o conjunto<\/strong> \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o cujo dom\u00ednio \u00e9 uma classe de conjuntos. Uma fun\u00e7\u00e3o conjunto de valor real estendida $\\mu$ definida em uma classe $\\boldsymbol E$ de conjuntos \u00e9 aditiva<\/strong> se, sempre que<\/h3>\n

$E \\in \\boldsymbol{E}, F \\in \\boldsymbol{E}, E \\cup F \\in \\boldsymbol{E}$ e $E \\cap F=0$, ent\u00e3o<\/h3>\n

$\\mu (E \\cup F)= \\mu (E)+ \\mu (F)$.<\/h3>\n

Uma fun\u00e7\u00e3o conjunto de valor real estendida $\\mu$ definida em uma classe $\\boldsymbol E$ \u00e9 finitamente aditiva<\/strong> se, para cada classe finita e disjunta $\\{E_{1}, …, E_{n}\\}$ de conjuntos em $\\boldsymbol E$ cuja uni\u00e3o tamb\u00e9m est\u00e1 em $\\boldsymbol E$, temos<\/h3>\n

$\\mu (\\bigcup_{i=1}^{n}E_{i})=\\sum_{i=1}^{n} \\mu(E_{i})$.<\/h3>\n

Uma fun\u00e7\u00e3o conjunto de valor real estendida $\\mu$ definida em uma classe $\\boldsymbol E$ \u00e9 contavelmente<\/strong> aditiva<\/strong> se, para cada sequ\u00eancia disjunta $\\{E_{i}\\}$ de conjuntos em $\\boldsymbol E$ cuja uni\u00e3o tamb\u00e9m est\u00e1 em $\\boldsymbol E$, temos<\/h3>\n

$\\mu (\\bigcup_{n=1}^{\\infty}E_{n})= \\sum_{n=1}^{\\infty} \\mu (E_{n})$.<\/h3>\n

Uma Medida<\/strong> \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o conjunto $\\mu$ de valor real estendida, n\u00e3o negativa e contavelmente aditiva, definida em um anel $\\boldsymbol R$, e tal que $\\mu(0)=0$. Em vista da identidade,<\/h3>\n

$\\bigcup_{i=1}^{n}E_{i}=E_{1} \\cup … \\cup E_{n} \\cup 0 \\cup 0 \\cup …$,<\/h3>\n

uma Medida \u00e9 sempre finitamente aditiva.<\/h3>\n

Apenas para lembrar, um anel<\/strong> (ou anel Booleano<\/strong>) de conjuntos \u00e9 uma classe $\\boldsymbol R$ n\u00e3o vazia de conjuntos tais que<\/h3>\n

$E \\in \\boldsymbol{R}$ e $F \\in \\boldsymbol{R}$, ent\u00e3o<\/h3>\n

$E \\cup F \\in \\boldsymbol{R}$ e $E-F \\in \\boldsymbol{R}$.<\/h3>\n

Ou seja, um anel \u00e9 uma classe de conjuntos n\u00e3o vazia, fechada sob a forma\u00e7\u00e3o de uni\u00f5es e diferen\u00e7as.<\/h3>\n

Vejamos um exemplo trivial de uma medida:<\/h3>\n

Seja $f$ uma fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o negativa de valor real estendida dos pontos de um conjunto $X$. Seja o anel $\\boldsymbol R$ composto por todos os subconjuntos finitos de $X$; define-se $\\mu$ por<\/h3>\n

$\\mu (\\{x_{1}, …, x_{n}\\})=\\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})$ e $\\mu(0)=0$.<\/h3>\n

Outros exemplos menos triviais:<\/h3>\n

Se $\\mu$ \u00e9 uma Medida em um anel $\\boldsymbol R$, um conjunto $E$ em $\\boldsymbol R$ \u00e9 dito ter medida<\/strong> finita<\/strong> se $\\mu (E)< \\infty$; a Medida de $E$ \u00e9 $\\boldsymbol{\\sigma}$-finita<\/strong> se existe uma sequ\u00eancia $\\{E_{n}\\}$ de conjuntos em $\\boldsymbol R$ tal que<\/h3>\n

$E \\subset \\bigcup_{n=1}^{\\infty}E_{n}$ e $\\mu (E_{n})< \\infty, n=1, 2, …$.<\/h3>\n

Se a Medida de cada conjunto $E$ em $\\boldsymbol R$ \u00e9 finita (ou $\\sigma$-finita), a Medida $\\mu$ \u00e9 chamada finita<\/strong> (ou $\\boldsymbol{\\sigma}$-finita<\/strong>) em $\\boldsymbol R$. Se $X \\in \\boldsymbol{R}$ (ou seja, se $\\boldsymbol R$ \u00e9 uma \u00e1lgebra) e $\\mu (X)$ \u00e9 finito ou $\\sigma$-finito, ent\u00e3o $\\mu$ \u00e9 chamado de totalmente<\/strong> finito<\/strong> ou totalmente<\/strong> $\\boldsymbol{\\sigma}$-finito<\/strong>, respectivamente. A Medida $\\mu$ \u00e9 chamada completa<\/strong> se as condi\u00e7\u00f5es<\/h3>\n

$E \\in \\boldsymbol{R}, F \\subset E$ e $\\mu (E)=0$<\/h3>\n

implica que $F \\in \\boldsymbol{R}$.<\/h3>\n

\u00a0<\/h3>\n\n\n\n
\n

\"\"<\/a>
2.3.1 Grandeza<\/h3>\n<\/td>\n

\n

\"\"<\/a>
In\u00edcio<\/h3>\n<\/td>\n

\n

\"\"<\/a>
2.3.3 Medida de \u00c1rea<\/h3>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[latexpage]Trazemos a defini\u00e7\u00e3o de Medida como est\u00e1 em Halmos (1950, p. 30-31, tradu\u00e7\u00e3o nossa), no seu livro Measure Theory. Uma fun\u00e7\u00e3o conjunto \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o cujo dom\u00ednio \u00e9 uma classe de conjuntos. Uma fun\u00e7\u00e3o conjunto de valor real estendida $\\mu$ … Continue lendo →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":23,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-2794","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"\nBlog da Fernanda - 2.3.2 Medida<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Medida (parte do Referencial te\u00f3rico) da Disserta\u00e7\u00e3o de Mestrado de Fernanda - Laborat\u00f3rio MultiMeios da Universidade Federal do Cear\u00e1\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-2-medida\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pt_BR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Blog da Fernanda - 2.3.2 Medida\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Medida (parte do Referencial te\u00f3rico) da Disserta\u00e7\u00e3o de Mestrado de Fernanda - Laborat\u00f3rio MultiMeios da Universidade Federal do Cear\u00e1\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-2-medida\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Blog da Fernanda\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2024-08-18T17:10:42+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"http:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/files\/2023\/01\/botao-para-a-esquerda-300x300.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Est. tempo de leitura\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"4 minutos\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogs.multimeios.ufc.br\\\/fernandacarmo\\\/dissertacao-2-3-2-medida\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/blogs.multimeios.ufc.br\\\/fernandacarmo\\\/dissertacao-2-3-2-medida\\\/\",\"name\":\"Blog da Fernanda - 2.3.2 Medida\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogs.multimeios.ufc.br\\\/fernandacarmo\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogs.multimeios.ufc.br\\\/fernandacarmo\\\/dissertacao-2-3-2-medida\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogs.multimeios.ufc.br\\\/fernandacarmo\\\/dissertacao-2-3-2-medida\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"http:\\\/\\\/blogs.multimeios.ufc.br\\\/fernandacarmo\\\/files\\\/2023\\\/01\\\/botao-para-a-esquerda-300x300.png\",\"datePublished\":\"2022-01-24T18:33:35+00:00\",\"dateModified\":\"2024-08-18T17:10:42+00:00\",\"description\":\"Medida (parte do Referencial te\u00f3rico) da Disserta\u00e7\u00e3o de Mestrado de Fernanda - Laborat\u00f3rio MultiMeios da Universidade Federal do Cear\u00e1\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogs.multimeios.ufc.br\\\/fernandacarmo\\\/dissertacao-2-3-2-medida\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pt-BR\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/blogs.multimeios.ufc.br\\\/fernandacarmo\\\/dissertacao-2-3-2-medida\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pt-BR\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogs.multimeios.ufc.br\\\/fernandacarmo\\\/dissertacao-2-3-2-medida\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/blogs.multimeios.ufc.br\\\/fernandacarmo\\\/files\\\/2023\\\/01\\\/botao-para-a-esquerda.png\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/blogs.multimeios.ufc.br\\\/fernandacarmo\\\/files\\\/2023\\\/01\\\/botao-para-a-esquerda.png\",\"width\":512,\"height\":512},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogs.multimeios.ufc.br\\\/fernandacarmo\\\/dissertacao-2-3-2-medida\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"In\u00edcio\",\"item\":\"https:\\\/\\\/blogs.multimeios.ufc.br\\\/fernandacarmo\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"2.3.2 Medida\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/blogs.multimeios.ufc.br\\\/fernandacarmo\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/blogs.multimeios.ufc.br\\\/fernandacarmo\\\/\",\"name\":\"Blog da Fernanda\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/blogs.multimeios.ufc.br\\\/fernandacarmo\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"pt-BR\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Blog da Fernanda - 2.3.2 Medida","description":"Medida (parte do Referencial te\u00f3rico) da Disserta\u00e7\u00e3o de Mestrado de Fernanda - Laborat\u00f3rio MultiMeios da Universidade Federal do Cear\u00e1","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-2-medida\/","og_locale":"pt_BR","og_type":"article","og_title":"Blog da Fernanda - 2.3.2 Medida","og_description":"Medida (parte do Referencial te\u00f3rico) da Disserta\u00e7\u00e3o de Mestrado de Fernanda - Laborat\u00f3rio MultiMeios da Universidade Federal do Cear\u00e1","og_url":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-2-medida\/","og_site_name":"Blog da Fernanda","article_modified_time":"2024-08-18T17:10:42+00:00","og_image":[{"url":"http:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/files\/2023\/01\/botao-para-a-esquerda-300x300.png","type":"","width":"","height":""}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Est. tempo de leitura":"4 minutos"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-2-medida\/","url":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-2-medida\/","name":"Blog da Fernanda - 2.3.2 Medida","isPartOf":{"@id":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-2-medida\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-2-medida\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"http:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/files\/2023\/01\/botao-para-a-esquerda-300x300.png","datePublished":"2022-01-24T18:33:35+00:00","dateModified":"2024-08-18T17:10:42+00:00","description":"Medida (parte do Referencial te\u00f3rico) da Disserta\u00e7\u00e3o de Mestrado de Fernanda - Laborat\u00f3rio MultiMeios da Universidade Federal do Cear\u00e1","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-2-medida\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pt-BR","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-2-medida\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pt-BR","@id":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-2-medida\/#primaryimage","url":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/files\/2023\/01\/botao-para-a-esquerda.png","contentUrl":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/files\/2023\/01\/botao-para-a-esquerda.png","width":512,"height":512},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-2-medida\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"In\u00edcio","item":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"2.3.2 Medida"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/#website","url":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/","name":"Blog da Fernanda","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"pt-BR"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2794","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/users\/23"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2794"}],"version-history":[{"count":45,"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2794\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5313,"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2794\/revisions\/5313"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2794"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}