{"id":2794,"date":"2022-01-24T15:33:35","date_gmt":"2022-01-24T18:33:35","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/?page_id=2794"},"modified":"2024-08-18T14:10:42","modified_gmt":"2024-08-18T17:10:42","slug":"dissertacao-2-3-2-medida","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-2-medida\/","title":{"rendered":"2.3.2 Medida"},"content":{"rendered":"\n

Trazemos a defini\u00e7\u00e3o de Medida como est\u00e1 em Halmos (1950<\/a>, p. 30-31, tradu\u00e7\u00e3o nossa), no seu livro Measure Theory.<\/em><\/h3>\n

Uma fun\u00e7\u00e3o conjunto<\/strong> \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o cujo dom\u00ednio \u00e9 uma classe de conjuntos. Uma fun\u00e7\u00e3o conjunto de valor real estendida \"\mu\" definida em uma classe \"\boldsymbol E\" de conjuntos \u00e9 aditiva<\/strong> se, sempre que<\/h3>\n

\"E \in \boldsymbol{E}, F \in \boldsymbol{E}, E \cup F \in \boldsymbol{E}\" e \"E \cap F=0\", ent\u00e3o<\/h3>\n

\"\mu (E \cup F)= \mu (E)+ \mu (F)\".<\/h3>\n

Uma fun\u00e7\u00e3o conjunto de valor real estendida \"\mu\" definida em uma classe \"\boldsymbol E\" \u00e9 finitamente aditiva<\/strong> se, para cada classe finita e disjunta \"\{E_{1}, ..., E_{n}\}\" de conjuntos em \"\boldsymbol E\" cuja uni\u00e3o tamb\u00e9m est\u00e1 em \"\boldsymbol E\", temos<\/h3>\n

\"\mu (\bigcup_{i=1}^{n}E_{i})=\sum_{i=1}^{n} \mu(E_{i})\".<\/h3>\n

Uma fun\u00e7\u00e3o conjunto de valor real estendida \"\mu\" definida em uma classe \"\boldsymbol E\" \u00e9 contavelmente<\/strong> aditiva<\/strong> se, para cada sequ\u00eancia disjunta \"\{E_{i}\}\" de conjuntos em \"\boldsymbol E\" cuja uni\u00e3o tamb\u00e9m est\u00e1 em \"\boldsymbol E\", temos<\/h3>\n

\"\mu (\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n})= \sum_{n=1}^{\infty} \mu (E_{n})\".<\/h3>\n

Uma Medida<\/strong> \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o conjunto \"\mu\" de valor real estendida, n\u00e3o negativa e contavelmente aditiva, definida em um anel \"\boldsymbol R\", e tal que \"\mu(0)=0\". Em vista da identidade,<\/h3>\n

\"\bigcup_{i=1}^{n}E_{i}=E_{1} \cup ... \cup E_{n} \cup 0 \cup 0 \cup ...\",<\/h3>\n

uma Medida \u00e9 sempre finitamente aditiva.<\/h3>\n

Apenas para lembrar, um anel<\/strong> (ou anel Booleano<\/strong>) de conjuntos \u00e9 uma classe \"\boldsymbol R\" n\u00e3o vazia de conjuntos tais que<\/h3>\n

\"E \in \boldsymbol{R}\" e \"F \in \boldsymbol{R}\", ent\u00e3o<\/h3>\n

\"E \cup F \in \boldsymbol{R}\" e \"E-F \in \boldsymbol{R}\".<\/h3>\n

Ou seja, um anel \u00e9 uma classe de conjuntos n\u00e3o vazia, fechada sob a forma\u00e7\u00e3o de uni\u00f5es e diferen\u00e7as.<\/h3>\n

Vejamos um exemplo trivial de uma medida:<\/h3>\n

Seja \"f\" uma fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o negativa de valor real estendida dos pontos de um conjunto \"X\". Seja o anel \"\boldsymbol R\" composto por todos os subconjuntos finitos de \"X\"; define-se \"\mu\" por<\/h3>\n

\"\mu (\{x_{1}, ..., x_{n}\})=\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\" e \"\mu(0)=0\".<\/h3>\n

Outros exemplos menos triviais:<\/h3>\n

Se \"\mu\" \u00e9 uma Medida em um anel \"\boldsymbol R\", um conjunto \"E\" em \"\boldsymbol R\" \u00e9 dito ter medida<\/strong> finita<\/strong> se \"\mu (E)< \infty\"; a Medida de \"E\" \u00e9 \"\boldsymbol{\sigma}\"-finita<\/strong> se existe uma sequ\u00eancia \"\{E_{n}\}\" de conjuntos em \"\boldsymbol R\" tal que<\/h3>\n

\"E \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}\" e \"\mu (E_{n})< \infty, n=1, 2, ...\".<\/h3>\n

Se a Medida de cada conjunto \"E\" em \"\boldsymbol R\" \u00e9 finita (ou \"\sigma\"-finita), a Medida \"\mu\" \u00e9 chamada finita<\/strong> (ou \"\boldsymbol{\sigma}\"-finita<\/strong>) em \"\boldsymbol R\". Se \"X \in \boldsymbol{R}\" (ou seja, se \"\boldsymbol R\" \u00e9 uma \u00e1lgebra) e \"\mu (X)\" \u00e9 finito ou \"\sigma\"-finito, ent\u00e3o \"\mu\" \u00e9 chamado de totalmente<\/strong> finito<\/strong> ou totalmente<\/strong> \"\boldsymbol{\sigma}\"-finito<\/strong>, respectivamente. A Medida \"\mu\" \u00e9 chamada completa<\/strong> se as condi\u00e7\u00f5es<\/h3>\n

\"E \in \boldsymbol{R}, F \subset E\" e \"\mu (E)=0\"<\/h3>\n

implica que \"F \in \boldsymbol{R}\".<\/h3>\n

\u00a0<\/h3>\n\n\n\n
\n

\"\"<\/a>
2.3.1 Grandeza<\/h3>\n<\/td>\n

\n

\"\"<\/a>
In\u00edcio<\/h3>\n<\/td>\n

\n

\"\"<\/a>
2.3.3 Medida de \u00c1rea<\/h3>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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