{"id":2803,"date":"2022-01-24T15:47:48","date_gmt":"2022-01-24T18:47:48","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/?page_id=2803"},"modified":"2024-08-18T14:12:14","modified_gmt":"2024-08-18T17:12:14","slug":"dissertacao-2-3-3-medida-de-area","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-3-medida-de-area\/","title":{"rendered":"2.3.3 Medida de \u00c1rea"},"content":{"rendered":"\n

Utilizamos Lima (1995<\/a>, p. 51-53) e Bellemain e Lima (2002)<\/a> para apresentar uma estrutura matem\u00e1tica para o conceito de \u00c1rea de superf\u00edcies planas, para o processo de medir \u00e1rea. Inicialmente, os autores convencionaram que o termo superf\u00edcie significa um conjunto limitado do plano euclidiano. O ponto de partida foi definir uma fun\u00e7\u00e3o \"f\", chamada fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea<\/strong>, em um conjunto \"\boldsymbol S\" de superf\u00edcies, com valores em \"\mathbb{R}^{+}\" (os n\u00fameros reais n\u00e3o negativos) e que possua certas propriedades julgadas apropriadas para caracterizarem a Grandeza \u00e1rea, a saber:<\/h3>\n

i)<\/em> positividade<\/strong>: se \"A\" tem interior n\u00e3o vazio, \"f(A)>0\";<\/h3>\n

Ou seja, uma figura de interior n\u00e3o vazio tem \u00c1rea positiva (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

ii)<\/em> aditividade<\/strong>: \"f(A \cup B)=f(A)+f(B)\", se \"A\" e \"B\" s\u00e3o \u201cquase disjuntos\u201d, isto \u00e9, se \"A \cap B\" cont\u00e9m, quando muito, pontos de suas fronteiras;<\/h3>\n

Isto \u00e9, se duas figuras \"A\" e \"B\" que t\u00eam em comum no m\u00e1ximo pontos de suas fronteiras, ent\u00e3o a \u00c1rea da figura \"A \cup B\", uni\u00e3o de \"A\" e \"B\", \u00e9 a soma da \u00c1rea de \"A\" com a \u00c1rea de \"B\" (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

iii)<\/em> invari\u00e2ncia por isometrias<\/strong>: se uma figura plana \"A\" \u00e9 transformada em outra, \"B\", de modo que a dist\u00e2ncia entre dois pontos quaisquer de \"A\" fica inalterada em \"B\", ent\u00e3o, \"f(A)=f(B)\".<\/h3>\n

Em outros termos, se uma figura plana \"A\" \u00e9 transformada em outra, \"B\", de modo que a dist\u00e2ncia entre dois pontos quaisquer de \"A\" fica inalterada em \"B\", ent\u00e3o, \"A\" e \"B\" t\u00eam a mesma \u00c1rea (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

Adotadas as propriedades acima, os autores imp\u00f5em a quest\u00e3o matem\u00e1tica de caracterizar o dom\u00ednio \"\boldsymbol S\" da fun\u00e7\u00e3o \"f\". Eles destacaram que, se s\u00e3o exigidas as condi\u00e7\u00f5es acima para a fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea, n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel medir todo subconjunto do plano. Desse modo, \u00e9 preciso saber quais superf\u00edcies s\u00e3o mensur\u00e1veis<\/strong> por \"f\". Esse \u00e9 um tema pr\u00f3prio da Teoria da Medida, que \u00e9 contornado pelos autores ao convencionarem que \"\boldsymbol S\" satisfaz a axiomas que asseguram que as figuras planas da matem\u00e1tica escolar s\u00e3o mensur\u00e1veis, entre outros:<\/h3>\n

Axioma 1<\/strong>. Se \"A \in \boldsymbol{S}, B \in \boldsymbol{S}\", ent\u00e3o \"A \cup B \in \boldsymbol{S}\" e \"A \setminus B \in \boldsymbol{S}\".<\/h3>\n

\"A \setminus B\" representa a diferen\u00e7a dos conjuntos \"A\" e \"B\", que \u00e9 o conjunto dos elementos de \"A\" que n\u00e3o est\u00e3o em \"B\" (LIMA, 1995<\/a>).<\/h3>\n

Axioma 2<\/strong>. Os quadrados pertencem a \"\boldsymbol S\".<\/h3>\n

Axioma 3<\/strong>. Se \"A\" \u00e9 limitado e \"A= \sum_{n=0}^{\infty}A_{n}\" com \"A_{n} \in \boldsymbol{S}\", para todo \"n\", ent\u00e3o, \"A \in \boldsymbol{S}\".<\/h3>\n

Os autores tomaram, ent\u00e3o, um quadrado \"U\", para superf\u00edcie unit\u00e1ria. Para quadrado unit\u00e1rio \u00e9, em geral, escolhido aquele cujo lado \u00e9 um segmento unit\u00e1rio, isto \u00e9, de comprimento 1. Portanto, sejam \"U\" esse quadrado e \"f_{U}\" a fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea tal que \"f_{U}(U)=1\". Estabelece-se, ent\u00e3o, a terminologia: \"f_{U}(A)\", \u00e9 a Medida de \u00c1rea da superf\u00edcie \"A\", na unidade de medida \"U\". Com isso, uma figura \"A\" que se possa construir como uni\u00e3o finita de quadrados unit\u00e1rios quase disjuntos pertence a \"\boldsymbol S\" e o valor \"f_{U}(A)\" \u00e9 o n\u00famero de quadrados unit\u00e1rios contidos na figura (LIMA, 1995<\/a>).<\/h3>\n

Na etapa seguinte da constru\u00e7\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o \"f_{U}\", os autores ressaltaram um instrumento fundamental que s\u00e3o as f\u00f3rmulas de \u00e1rea. Se \"A\" \u00e9 um quadrado qualquer cujo lado tem comprimento de medida inteira \"a\", pode-se ver, de imediato, que \"f_{U}(A)=a^{2}\". Por subdivis\u00e3o apropriada do lado do quadrado \"U\", deduz-se que, se \"A\" tem lado racional \"a\", tamb\u00e9m ser\u00e1 \"f_{U}(A)=a^{2}\". Esta mesma f\u00f3rmula vale mesmo se \"a\" \u00e9 irracional. Para se deduzir tal fato, no entanto, \u00e9 necess\u00e1rio que se adote mais uma propriedade a ser verificada pela fun\u00e7\u00e3o \"f_{U}\". A fun\u00e7\u00e3o \"f_{U}\" que o satisfa\u00e7a poder\u00e1 ser calculada em quadrados de lado com medida irracional e, mais geralmente ainda, em superf\u00edcies de fronteiras curvas. Uma formula\u00e7\u00e3o poss\u00edvel \u00e9:<\/h3>\n

Axioma 4<\/strong>. Aditividade para uni\u00f5es enumer\u00e1veis<\/strong>: se \"A \in \boldsymbol{S}\" e \"A= \sum_{n=0}^{\infty}A_{n}\" com \"A_{n} \in \boldsymbol{S}\" e \"A_{n} \cap A_{n+1}=\varnothing\", ent\u00e3o, \"f(A)= \sum_{n=0}^{\infty}f(A_{n})\". (Express\u00e3o da \u00c1rea como a soma de uma s\u00e9rie).<\/h3>\n

O c\u00e1lculo do valor \"f_{U}(A)\" envolve a passagem ao limite de uma sequ\u00eancia de valores que s\u00e3o as somas parciais da s\u00e9rie \"\sum f_{U}(A_{n})\", onde \"A_{n}\" \u00e9 uma das figuras que comp\u00f5em \"A\". Dessa forma surge o conceito de \u00c1rea aproximada de uma superf\u00edcie. O valor \"f_{U}(A)\" \u00e9, na pr\u00e1tica, obtido pelo valor de somas parciais de \"\sum f_{U}(A_{n})\" com a aproxima\u00e7\u00e3o desejada (LIMA, 1995<\/a>).<\/h3>\n

Tais axiomas permitem, por outro lado, a demonstra\u00e7\u00e3o de que uma fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea \"f_{U}\" satisfazendo \u00e0s condi\u00e7\u00f5es acima referidas est\u00e1 definida em todos os quadrados, tri\u00e2ngulos e em todas as superf\u00edcies que se decomp\u00f5em em uni\u00f5es finitas de tri\u00e2ngulos cujos interiores sejam disjuntos dois a dois. Em suma, em toda superf\u00edcie poligonal. Mais ainda, uma figura plana \"A\", mesmo n\u00e3o poligonal, isto \u00e9, com fronteiras curvas, que pode ser definida como uni\u00e3o enumer\u00e1vel de superf\u00edcies mensur\u00e1veis, \u00e9 mensur\u00e1vel (LIMA, 1995<\/a>).<\/h3>\n

O autor destaca que se a superf\u00edcie unit\u00e1ria for mudada, \u00e9 poss\u00edvel deduzir que a fun\u00e7\u00e3o \"f_{U}\", definida em \"\boldsymbol S\" da forma indicada acima \u00e9 \u00fanica. Para isso, os autores consideraram, ent\u00e3o, \"f_{W}\" uma fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea, definida em \"\boldsymbol S\" (satisfazendo, ent\u00e3o, aos axiomas de positividade, aditividade e invari\u00e2ncia por isometrias) tal que \"f_{W}(W)=1\". A superf\u00edcie \"W\" \u00e9 uma nova superf\u00edcie unit\u00e1ria. Seja \"\lambda =f_{W}(U)\" e tome a fun\u00e7\u00e3o \"g=1/ \lambda f_{W}\". Vemos que \"g\" \u00e9 tamb\u00e9m uma fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea definida em \"\boldsymbol S\". Temos, portanto, \"g(U)=(1/ \lambda) f_{W}(U)=(1/ \lambda) \cdot \lambda =1\". Mas sabemos que a \u00fanica fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea que atende a essas condi\u00e7\u00f5es \u00e9 \"f_{U}\". Logo, \"g=f_{U}\", isto \u00e9, \"(1/ \lambda)f_{W}=f_{U}\" e, portanto, \"\boldsymbol{f_{W}}= \lambda \boldsymbol{f_{U}}\". Isto \u00e9, dadas duas fun\u00e7\u00f5es \u00e1rea quaisquer, \"f, h\", definidas em \"\boldsymbol S\", elas diferem apenas por um fator de proporcionalidade. A quest\u00e3o que o autor p\u00f5e neste ponto \u00e9 a de explicitar uma estrutura matem\u00e1tica na qual se defina o termo \u00e1rea<\/em>.<\/h3>\n

Dada uma fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea \"f\", definida em \"\boldsymbol S\", verificamos sua sobreje\u00e7\u00e3o, isto \u00e9, dado um valor real positivo \"\mu\", existe uma superf\u00edcie \"A\", tal que \"f(A)= \mu\". Mas \"f\" n\u00e3o \u00e9 injetiva, pois h\u00e1 um conjunto de superf\u00edcies de \"\boldsymbol S\", representado por \"\boldsymbol{S}(f)_{\mu}\", tal que, para toda superf\u00edcie \"B\" em \"\boldsymbol{S}(f)_{\mu}\", tem-se \"f(B)=f(A)= \mu\" (LIMA, 1995<\/a>).<\/h3>\n

O conjunto das superf\u00edcies mensur\u00e1veis \"\boldsymbol S\" pode ser dividido em classes disjuntas. Al\u00e9m disso, essas classes de equival\u00eancia n\u00e3o dependem da fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea escolhida. Em outras palavras, partir de outra fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea, \"h\", (que se sabe, \u00e9 igual a \"\lambda f\", para algum \"\lambda\"), podemos ver que \"\boldsymbol{S}(f)_{\mu}= \boldsymbol{S}(h)_{\mu}\", para todo \"\mu\". Conclu\u00edmos que \"\boldsymbol S\" fica dividido em classes disjuntas \"\boldsymbol{S_{\mu}}\". O conjunto dessas classes, \"\boldsymbol{\underline S}\", \u00e9 o conjunto das \u00e1reas<\/strong>. Dada uma superf\u00edcie \"A\", sua classe, \"\underline A\", \u00e9 a \u00c1rea \"\underline A\", isto \u00e9, o conjunto de todas as superf\u00edcies que t\u00eam a mesma \u00c1rea<\/strong> que \"A\", quando medidas por qualquer fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea (LIMA, 1995<\/a>).<\/h3>\n

Nesse conjunto de classes, \"\boldsymbol{\underline S}\" constitu\u00eddo, os autores puderam definir uma rela\u00e7\u00e3o de ordem e duas opera\u00e7\u00f5es, a adi\u00e7\u00e3o de duas classes e a multiplica\u00e7\u00e3o de uma classe por um n\u00famero, que satisfazem a propriedades an\u00e1logas \u00e0s de um espa\u00e7o vetorial unidimensional sobre os reais. O conjunto \"S\" \u00e9 uma estrutura matem\u00e1tica que permite o tratamento abstrato do conceito de \u00c1rea, sendo um caso particular de um “dom\u00ednio de quantidades”.<\/h3>\n

\u00a0<\/h3>\n

2.3.3.1 C\u00e1lculo de \u00c1reas: Integral de Riemann<\/em><\/h3>\n

\u00a0<\/h3>\n

Para rever a introdu\u00e7\u00e3o do conceito de Integral de Riemann, utilizado no c\u00e1lculo de \u00c1reas, utilizamos Guidorizzi (2001<\/a>, p. 302-311).<\/h3>\n

Sejam \"f\" uma fun\u00e7\u00e3o definida em \"[a, b]\" e \"L\" um n\u00famero real. Dizemos que \"\sum_{i=1}^{n}f(c_{i}) \Delta x_{i}\" tende a \"L\", quando \"máx \Delta x_{i} \rightarrow 0\", e escrevemos \"\lim_{máx \Delta x_{i} \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}f(c_{i}) \Delta x_{i}=L\" se, para todo \"\varepsilon >0\", existir um \"\delta >0\" que s\u00f3 dependa de \"\varepsilon\" mas n\u00e3o da particular escolha dos \"c_{i}\", tal que \"|\sum_{i=1}^{n}f(c_{i}) \Delta x_{i}-L|< \varepsilon\" para toda parti\u00e7\u00e3o \"P\" de \"[a, b]\", com \"máx \Delta x_{i}< \delta\".<\/h3>\n

Tal n\u00famero \"L\", que quando existe \u00e9 \u00fanico, denomina-se integral de Riemann de \"f\" em \"[a, b]\" e indica-se por \"\int_{a}^{b}f(x)dx\". Ent\u00e3o, por defini\u00e7\u00e3o \"\int_{a}^{b}f(x)dx= \lim_{máx \Delta x_{i} \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}f(c_{i}) \Delta x_{i}\".<\/h3>\n

Se \"\int_{a}^{b}f(x)dx\" existe, ent\u00e3o diremos que \"f\" \u00e9 integr\u00e1vel segundo Riemann em \"[a, b]\".<\/h3>\n

Ainda por defini\u00e7\u00e3o, \"\int_{a}^{b}f(x)dx=0\" e \"\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx (a<b)\".<\/h3>\n

Teorema<\/strong>. Sejam \"f, g\" integr\u00e1veis em \"[a, b]\" e \"k\" uma constante. Ent\u00e3o,<\/h3>\n

a)<\/em> \"f+g\" \u00e9 integr\u00e1vel em \"[a, b]\" e<\/h3>\n

\"\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+ \int_{a}^{b}g(x)dx\".<\/h3>\n

b)<\/em> \"kf\" \u00e9 integr\u00e1vel em \"[a, b]\" e \"\int_{a}^{b}kf(x)dx=k \int_{a}^{b}f(x)dx\".<\/h3>\n

c)<\/em> Se \"f(x) \geq 0\" em \"[a, b]\", ent\u00e3o \"\int_{a}^{b}f(x)dx \geq 0\".<\/h3>\n

d)<\/em> Se \"c \in \; ]a, b[\" e \"f\" \u00e9 integr\u00e1vel em \"[a, c]\" e em \"[c, b]\" ent\u00e3o<\/h3>\n

\"\int_{a}^{b}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx+ \int_{c}^{b}f(x)dx\".<\/h3>\n

Seja \"f\" cont\u00ednua em \"[a, b]\", com \"f(x) \geq 0\" em \"[a, b]\". Podemos definir a \u00c1rea do conjunto \"A\" do plano limitado pelas retas \"x=a\", \"x=b\", \"y=0\" e pelo gr\u00e1fico de \"y=f(x)\".<\/h3>\n

Seja, ent\u00e3o, \"P:a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}=b\" uma parti\u00e7\u00e3o de \"[a, b]\" e sejam \"\bar{c_{i}}\" e \"\bar{\bar{c_{i}}}\" em \"[x_{i-1}, x_{i}]\" tais que \"f(\bar{c_{i}})\" \u00e9 o valor m\u00ednimo e \"f(\bar{\bar{c_{i}}})\" o valor m\u00e1ximo de \"f\" em \"[x_{i-1}, x_{i}]\". Uma defini\u00e7\u00e3o para a \u00c1rea de \"A\" dever\u00e1 implicar que a soma de Riemann \"\sum_{i=1}^{n}f(\bar{c_{i}}) \Delta x_{i}\" seja uma aproxima\u00e7\u00e3o por falta da \u00c1rea de \"A\" e que \"\sum_{i=1}^{n}f(\bar{\bar{c_{i}}}) \Delta x_{i}\" seja uma aproxima\u00e7\u00e3o por excesso, isto \u00e9, \"\sum_{i=1}^{n}f(\bar{c_{i}}) \Delta x_{i} \leq área de A \leq \sum_{i=1}^{n}f(\bar{\bar{c_{i}}}) \Delta x_{i}\".<\/h3>\n

Como as somas de Riemann mencionadas tendem a \"\int_{a}^{b}f(x)dx\", quando \"máx \Delta x_{i} \rightarrow 0\", nada mais natural do que definir a \u00c1rea de \"A\" por \"área \; de \; A= \int_{a}^{b}f(x)dx\".<\/h3>\n

Da mesma forma define-se \u00c1rea de \"A\" no caso em que \"f\" \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o integr\u00e1vel qualquer, com \"f(x) \geq 0\" em \"[a, b]\".<\/h3>\n

\u00a0<\/h3>\n

2.3.3.2 C\u00e1lculo de Volumes: Aplica\u00e7\u00f5es da Integral<\/em><\/h3>\n

\u00a0<\/h3>\n

Tamb\u00e9m trazemos Guidorizzi (2001<\/a>, p. 411-412) para introduzir c\u00e1lculo de Volumes utilizando integral.<\/h3>\n

Sabendo que \"\pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2} dx\" \u00e9 a f\u00f3rmula que fornece o Volume do s\u00f3lido de revolu\u00e7\u00e3o obtido pela rota\u00e7\u00e3o, em torno do eixo \"x\", do conjunto \"A=\{(x, y) \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b, 0 \leq y \leq f(x) \}\". Observemos que \"A(x)= \pi [f(x)]^{2}\" \u00e9 a \u00c1rea de interse\u00e7\u00e3o do s\u00f3lido com o plano perpendicular ao eixo \"x\" e passando pelo ponto de abcissa \"x\". Assim, o Volume mencionado anteriormente pode ser colocado na forma<\/h3>\n

\"volume= \int_{a}^{b} A(x) dx\".<\/h3>\n

Seja, portanto, \"B\" um s\u00f3lido qualquer, n\u00e3o necessariamente de revolu\u00e7\u00e3o e seja \"x\" um eixo escolhido arbitrariamente. Suponhamos que o s\u00f3lido esteja compreendido entre dois planos perpendiculares a \"x\", que interceptam o eixo \"x\" em \"x=a\" e em \"x=b\". Seja \"A(x)\" a \u00c1rea de interse\u00e7\u00e3o do s\u00f3lido com o plano perpendicular a \"x\" no ponto de abscissa \"x\". Suponhamos que a fun\u00e7\u00e3o \"A(x)\" seja integr\u00e1vel em \"[a, b]\". Definimos, ent\u00e3o, o Volume do s\u00f3lido por<\/h3>\n

\"Volume= \int_{a}^{b} A(x) dx\".<\/h3>\n

Exposto o referencial te\u00f3rico, no cap\u00edtulo seguinte descrevemos o percurso metodol\u00f3gico da pesquisa.<\/h3>\n

\u00a0<\/p>\n\n\n\n
\n

\"\"<\/a>
2.3.2 Medida<\/h3>\n<\/td>\n

\n

\"\"<\/a>
In\u00edcio<\/h3>\n<\/td>\n

\n

\"\"<\/a>
3 Metodologia<\/h3>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Utilizamos Lima (1995, p. 51-53) e Bellemain e Lima (2002) para apresentar uma estrutura matem\u00e1tica para o conceito de \u00c1rea de superf\u00edcies planas, para o processo de medir \u00e1rea. 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