{"id":2803,"date":"2022-01-24T15:47:48","date_gmt":"2022-01-24T18:47:48","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/?page_id=2803"},"modified":"2024-08-18T14:12:14","modified_gmt":"2024-08-18T17:12:14","slug":"dissertacao-2-3-3-medida-de-area","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/dissertacao-2-3-3-medida-de-area\/","title":{"rendered":"2.3.3 Medida de \u00c1rea"},"content":{"rendered":"\n

[latexpage]Utilizamos Lima (1995<\/a>, p. 51-53) e Bellemain e Lima (2002)<\/a> para apresentar uma estrutura matem\u00e1tica para o conceito de \u00c1rea de superf\u00edcies planas, para o processo de medir \u00e1rea. Inicialmente, os autores convencionaram que o termo superf\u00edcie significa um conjunto limitado do plano euclidiano. O ponto de partida foi definir uma fun\u00e7\u00e3o $f$, chamada fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea<\/strong>, em um conjunto $\\boldsymbol S$ de superf\u00edcies, com valores em $\\mathbb{R}^{+}$ (os n\u00fameros reais n\u00e3o negativos) e que possua certas propriedades julgadas apropriadas para caracterizarem a Grandeza \u00e1rea, a saber:<\/h3>\n

i)<\/em> positividade<\/strong>: se $A$ tem interior n\u00e3o vazio, $f(A)>0$;<\/h3>\n

Ou seja, uma figura de interior n\u00e3o vazio tem \u00c1rea positiva (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

ii)<\/em> aditividade<\/strong>: $f(A \\cup B)=f(A)+f(B)$, se $A$ e $B$ s\u00e3o \u201cquase disjuntos\u201d, isto \u00e9, se $A \\cap B$ cont\u00e9m, quando muito, pontos de suas fronteiras;<\/h3>\n

Isto \u00e9, se duas figuras $A$ e $B$ que t\u00eam em comum no m\u00e1ximo pontos de suas fronteiras, ent\u00e3o a \u00c1rea da figura $A \\cup B$, uni\u00e3o de $A$ e $B$, \u00e9 a soma da \u00c1rea de $A$ com a \u00c1rea de $B$ (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

iii)<\/em> invari\u00e2ncia por isometrias<\/strong>: se uma figura plana $A$ \u00e9 transformada em outra, $B$, de modo que a dist\u00e2ncia entre dois pontos quaisquer de $A$ fica inalterada em $B$, ent\u00e3o, $f(A)=f(B)$.<\/h3>\n

Em outros termos, se uma figura plana $A$ \u00e9 transformada em outra, $B$, de modo que a dist\u00e2ncia entre dois pontos quaisquer de $A$ fica inalterada em $B$, ent\u00e3o, $A$ e $B$ t\u00eam a mesma \u00c1rea (BELLEMAIN; LIMA, 2002<\/a>).<\/h3>\n

Adotadas as propriedades acima, os autores imp\u00f5em a quest\u00e3o matem\u00e1tica de caracterizar o dom\u00ednio $\\boldsymbol S$ da fun\u00e7\u00e3o $f$. Eles destacaram que, se s\u00e3o exigidas as condi\u00e7\u00f5es acima para a fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea, n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel medir todo subconjunto do plano. Desse modo, \u00e9 preciso saber quais superf\u00edcies s\u00e3o mensur\u00e1veis<\/strong> por $f$. Esse \u00e9 um tema pr\u00f3prio da Teoria da Medida, que \u00e9 contornado pelos autores ao convencionarem que $\\boldsymbol S$ satisfaz a axiomas que asseguram que as figuras planas da matem\u00e1tica escolar s\u00e3o mensur\u00e1veis, entre outros:<\/h3>\n

Axioma 1<\/strong>. Se $A \\in \\boldsymbol{S}, B \\in \\boldsymbol{S}$, ent\u00e3o $A \\cup B \\in \\boldsymbol{S}$ e $A \\setminus B \\in \\boldsymbol{S}$.<\/h3>\n

$A \\setminus B$ representa a diferen\u00e7a dos conjuntos $A$ e $B$, que \u00e9 o conjunto dos elementos de $A$ que n\u00e3o est\u00e3o em $B$ (LIMA, 1995<\/a>).<\/h3>\n

Axioma 2<\/strong>. Os quadrados pertencem a $\\boldsymbol S$.<\/h3>\n

Axioma 3<\/strong>. Se $A$ \u00e9 limitado e $A= \\sum_{n=0}^{\\infty}A_{n}$ com $A_{n} \\in \\boldsymbol{S}$, para todo $n$, ent\u00e3o, $A \\in \\boldsymbol{S}$.<\/h3>\n

Os autores tomaram, ent\u00e3o, um quadrado $U$, para superf\u00edcie unit\u00e1ria. Para quadrado unit\u00e1rio \u00e9, em geral, escolhido aquele cujo lado \u00e9 um segmento unit\u00e1rio, isto \u00e9, de comprimento 1. Portanto, sejam $U$ esse quadrado e $f_{U}$ a fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea tal que $f_{U}(U)=1$. Estabelece-se, ent\u00e3o, a terminologia: $f_{U}(A)$, \u00e9 a Medida de \u00c1rea da superf\u00edcie $A$, na unidade de medida $U$. Com isso, uma figura $A$ que se possa construir como uni\u00e3o finita de quadrados unit\u00e1rios quase disjuntos pertence a $\\boldsymbol S$ e o valor $f_{U}(A)$ \u00e9 o n\u00famero de quadrados unit\u00e1rios contidos na figura (LIMA, 1995<\/a>).<\/h3>\n

Na etapa seguinte da constru\u00e7\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o $f_{U}$, os autores ressaltaram um instrumento fundamental que s\u00e3o as f\u00f3rmulas de \u00e1rea. Se $A$ \u00e9 um quadrado qualquer cujo lado tem comprimento de medida inteira $a$, pode-se ver, de imediato, que $f_{U}(A)=a^{2}$. Por subdivis\u00e3o apropriada do lado do quadrado $U$, deduz-se que, se $A$ tem lado racional $a$, tamb\u00e9m ser\u00e1 $f_{U}(A)=a^{2}$. Esta mesma f\u00f3rmula vale mesmo se $a$ \u00e9 irracional. Para se deduzir tal fato, no entanto, \u00e9 necess\u00e1rio que se adote mais uma propriedade a ser verificada pela fun\u00e7\u00e3o $f_{U}$. A fun\u00e7\u00e3o $f_{U}$ que o satisfa\u00e7a poder\u00e1 ser calculada em quadrados de lado com medida irracional e, mais geralmente ainda, em superf\u00edcies de fronteiras curvas. Uma formula\u00e7\u00e3o poss\u00edvel \u00e9:<\/h3>\n

Axioma 4<\/strong>. Aditividade para uni\u00f5es enumer\u00e1veis<\/strong>: se $A \\in \\boldsymbol{S}$ e $A= \\sum_{n=0}^{\\infty}A_{n}$ com $A_{n} \\in \\boldsymbol{S}$ e $A_{n} \\cap A_{n+1}=\\varnothing$, ent\u00e3o, $f(A)= \\sum_{n=0}^{\\infty}f(A_{n})$. (Express\u00e3o da \u00c1rea como a soma de uma s\u00e9rie).<\/h3>\n

O c\u00e1lculo do valor $f_{U}(A)$ envolve a passagem ao limite de uma sequ\u00eancia de valores que s\u00e3o as somas parciais da s\u00e9rie $\\sum f_{U}(A_{n})$, onde $A_{n}$ \u00e9 uma das figuras que comp\u00f5em $A$. Dessa forma surge o conceito de \u00c1rea aproximada de uma superf\u00edcie. O valor $f_{U}(A)$ \u00e9, na pr\u00e1tica, obtido pelo valor de somas parciais de $\\sum f_{U}(A_{n})$ com a aproxima\u00e7\u00e3o desejada (LIMA, 1995<\/a>).<\/h3>\n

Tais axiomas permitem, por outro lado, a demonstra\u00e7\u00e3o de que uma fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea $f_{U}$ satisfazendo \u00e0s condi\u00e7\u00f5es acima referidas est\u00e1 definida em todos os quadrados, tri\u00e2ngulos e em todas as superf\u00edcies que se decomp\u00f5em em uni\u00f5es finitas de tri\u00e2ngulos cujos interiores sejam disjuntos dois a dois. Em suma, em toda superf\u00edcie poligonal. Mais ainda, uma figura plana $A$, mesmo n\u00e3o poligonal, isto \u00e9, com fronteiras curvas, que pode ser definida como uni\u00e3o enumer\u00e1vel de superf\u00edcies mensur\u00e1veis, \u00e9 mensur\u00e1vel (LIMA, 1995<\/a>).<\/h3>\n

O autor destaca que se a superf\u00edcie unit\u00e1ria for mudada, \u00e9 poss\u00edvel deduzir que a fun\u00e7\u00e3o $f_{U}$, definida em $\\boldsymbol S$ da forma indicada acima \u00e9 \u00fanica. Para isso, os autores consideraram, ent\u00e3o, $f_{W}$ uma fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea, definida em $\\boldsymbol S$ (satisfazendo, ent\u00e3o, aos axiomas de positividade, aditividade e invari\u00e2ncia por isometrias) tal que $f_{W}(W)=1$. A superf\u00edcie $W$ \u00e9 uma nova superf\u00edcie unit\u00e1ria. Seja $\\lambda =f_{W}(U)$ e tome a fun\u00e7\u00e3o $g=1\/ \\lambda f_{W}$. Vemos que $g$ \u00e9 tamb\u00e9m uma fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea definida em $\\boldsymbol S$. Temos, portanto, $g(U)=(1\/ \\lambda) f_{W}(U)=(1\/ \\lambda) \\cdot \\lambda =1$. Mas sabemos que a \u00fanica fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea que atende a essas condi\u00e7\u00f5es \u00e9 $f_{U}$. Logo, $g=f_{U}$, isto \u00e9, $(1\/ \\lambda)f_{W}=f_{U}$ e, portanto, $\\boldsymbol{f_{W}}= \\lambda \\boldsymbol{f_{U}}$. Isto \u00e9, dadas duas fun\u00e7\u00f5es \u00e1rea quaisquer, $f, h$, definidas em $\\boldsymbol S$, elas diferem apenas por um fator de proporcionalidade. A quest\u00e3o que o autor p\u00f5e neste ponto \u00e9 a de explicitar uma estrutura matem\u00e1tica na qual se defina o termo \u00e1rea<\/em>.<\/h3>\n

Dada uma fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea $f$, definida em $\\boldsymbol S$, verificamos sua sobreje\u00e7\u00e3o, isto \u00e9, dado um valor real positivo $\\mu$, existe uma superf\u00edcie $A$, tal que $f(A)= \\mu$. Mas $f$ n\u00e3o \u00e9 injetiva, pois h\u00e1 um conjunto de superf\u00edcies de $\\boldsymbol S$, representado por $\\boldsymbol{S}(f)_{\\mu}$, tal que, para toda superf\u00edcie $B$ em $\\boldsymbol{S}(f)_{\\mu}$, tem-se $f(B)=f(A)= \\mu$ (LIMA, 1995<\/a>).<\/h3>\n

O conjunto das superf\u00edcies mensur\u00e1veis $\\boldsymbol S$ pode ser dividido em classes disjuntas. Al\u00e9m disso, essas classes de equival\u00eancia n\u00e3o dependem da fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea escolhida. Em outras palavras, partir de outra fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea, $h$, (que se sabe, \u00e9 igual a $\\lambda f$, para algum $\\lambda$), podemos ver que $\\boldsymbol{S}(f)_{\\mu}= \\boldsymbol{S}(h)_{\\mu}$, para todo $\\mu$. Conclu\u00edmos que $\\boldsymbol S$ fica dividido em classes disjuntas $\\boldsymbol{S_{\\mu}}$. O conjunto dessas classes, $\\boldsymbol{\\underline S}$, \u00e9 o conjunto das \u00e1reas<\/strong>. Dada uma superf\u00edcie $A$, sua classe, $\\underline A$, \u00e9 a \u00c1rea $\\underline A$, isto \u00e9, o conjunto de todas as superf\u00edcies que t\u00eam a mesma \u00c1rea<\/strong> que $A$, quando medidas por qualquer fun\u00e7\u00e3o \u00e1rea (LIMA, 1995<\/a>).<\/h3>\n

Nesse conjunto de classes, $\\boldsymbol{\\underline S}$ constitu\u00eddo, os autores puderam definir uma rela\u00e7\u00e3o de ordem e duas opera\u00e7\u00f5es, a adi\u00e7\u00e3o de duas classes e a multiplica\u00e7\u00e3o de uma classe por um n\u00famero, que satisfazem a propriedades an\u00e1logas \u00e0s de um espa\u00e7o vetorial unidimensional sobre os reais. O conjunto $S$ \u00e9 uma estrutura matem\u00e1tica que permite o tratamento abstrato do conceito de \u00c1rea, sendo um caso particular de um “dom\u00ednio de quantidades”.<\/h3>\n

\u00a0<\/h3>\n

2.3.3.1 C\u00e1lculo de \u00c1reas: Integral de Riemann<\/em><\/h3>\n

\u00a0<\/h3>\n

Para rever a introdu\u00e7\u00e3o do conceito de Integral de Riemann, utilizado no c\u00e1lculo de \u00c1reas, utilizamos Guidorizzi (2001<\/a>, p. 302-311).<\/h3>\n

Sejam $f$ uma fun\u00e7\u00e3o definida em $[a, b]$ e $L$ um n\u00famero real. Dizemos que $\\sum_{i=1}^{n}f(c_{i}) \\Delta x_{i}$ tende a $L$, quando $m\u00e1x \\Delta x_{i} \\rightarrow 0$, e escrevemos $\\lim_{m\u00e1x \\Delta x_{i} \\rightarrow 0} \\sum_{i=1}^{n}f(c_{i}) \\Delta x_{i}=L$ se, para todo $\\varepsilon >0$, existir um $\\delta >0$ que s\u00f3 dependa de $\\varepsilon$ mas n\u00e3o da particular escolha dos $c_{i}$, tal que $|\\sum_{i=1}^{n}f(c_{i}) \\Delta x_{i}-L|< \\varepsilon$ para toda parti\u00e7\u00e3o $P$ de $[a, b]$, com $m\u00e1x \\Delta x_{i}< \\delta$.<\/h3>\n

Tal n\u00famero $L$, que quando existe \u00e9 \u00fanico, denomina-se integral de Riemann de $f$ em $[a, b]$ e indica-se por $\\int_{a}^{b}f(x)dx$. Ent\u00e3o, por defini\u00e7\u00e3o $\\int_{a}^{b}f(x)dx= \\lim_{m\u00e1x \\Delta x_{i} \\rightarrow 0} \\sum_{i=1}^{n}f(c_{i}) \\Delta x_{i}$.<\/h3>\n

Se $\\int_{a}^{b}f(x)dx$ existe, ent\u00e3o diremos que $f$ \u00e9 integr\u00e1vel segundo Riemann em $[a, b]$.<\/h3>\n

Ainda por defini\u00e7\u00e3o, $\\int_{a}^{b}f(x)dx=0$ e $\\int_{a}^{b}f(x)dx=-\\int_{a}^{b}f(x)dx (a<b)$.<\/h3>\n

Teorema<\/strong>. Sejam $f, g$ integr\u00e1veis em $[a, b]$ e $k$ uma constante. Ent\u00e3o,<\/h3>\n

a)<\/em> $f+g$ \u00e9 integr\u00e1vel em $[a, b]$ e<\/h3>\n

$\\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\\int_{a}^{b}f(x)dx+ \\int_{a}^{b}g(x)dx$.<\/h3>\n

b)<\/em> $kf$ \u00e9 integr\u00e1vel em $[a, b]$ e $\\int_{a}^{b}kf(x)dx=k \\int_{a}^{b}f(x)dx$.<\/h3>\n

c)<\/em> Se $f(x) \\geq 0$ em $[a, b]$, ent\u00e3o $\\int_{a}^{b}f(x)dx \\geq 0$.<\/h3>\n

d)<\/em> Se $c \\in \\; ]a, b[$ e $f$ \u00e9 integr\u00e1vel em $[a, c]$ e em $[c, b]$ ent\u00e3o<\/h3>\n

$\\int_{a}^{b}f(x)dx= \\int_{a}^{c}f(x)dx+ \\int_{c}^{b}f(x)dx$.<\/h3>\n

Seja $f$ cont\u00ednua em $[a, b]$, com $f(x) \\geq 0$ em $[a, b]$. Podemos definir a \u00c1rea do conjunto $A$ do plano limitado pelas retas $x=a$, $x=b$, $y=0$ e pelo gr\u00e1fico de $y=f(x)$.<\/h3>\n

Seja, ent\u00e3o, $P:a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n}=b$ uma parti\u00e7\u00e3o de $[a, b]$ e sejam $\\bar{c_{i}}$ e $\\bar{\\bar{c_{i}}}$ em $[x_{i-1}, x_{i}]$ tais que $f(\\bar{c_{i}})$ \u00e9 o valor m\u00ednimo e $f(\\bar{\\bar{c_{i}}})$ o valor m\u00e1ximo de $f$ em $[x_{i-1}, x_{i}]$. Uma defini\u00e7\u00e3o para a \u00c1rea de $A$ dever\u00e1 implicar que a soma de Riemann $\\sum_{i=1}^{n}f(\\bar{c_{i}}) \\Delta x_{i}$ seja uma aproxima\u00e7\u00e3o por falta da \u00c1rea de $A$ e que $\\sum_{i=1}^{n}f(\\bar{\\bar{c_{i}}}) \\Delta x_{i}$ seja uma aproxima\u00e7\u00e3o por excesso, isto \u00e9, $\\sum_{i=1}^{n}f(\\bar{c_{i}}) \\Delta x_{i} \\leq \u00e1rea de A \\leq \\sum_{i=1}^{n}f(\\bar{\\bar{c_{i}}}) \\Delta x_{i}$.<\/h3>\n

Como as somas de Riemann mencionadas tendem a $\\int_{a}^{b}f(x)dx$, quando $m\u00e1x \\Delta x_{i} \\rightarrow 0$, nada mais natural do que definir a \u00c1rea de $A$ por $\u00e1rea \\; de \\; A= \\int_{a}^{b}f(x)dx$.<\/h3>\n

Da mesma forma define-se \u00c1rea de $A$ no caso em que $f$ \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o integr\u00e1vel qualquer, com $f(x) \\geq 0$ em $[a, b]$.<\/h3>\n

\u00a0<\/h3>\n

2.3.3.2 C\u00e1lculo de Volumes: Aplica\u00e7\u00f5es da Integral<\/em><\/h3>\n

\u00a0<\/h3>\n

Tamb\u00e9m trazemos Guidorizzi (2001<\/a>, p. 411-412) para introduzir c\u00e1lculo de Volumes utilizando integral.<\/h3>\n

Sabendo que $\\pi \\int_{a}^{b} [f(x)]^{2} dx$ \u00e9 a f\u00f3rmula que fornece o Volume do s\u00f3lido de revolu\u00e7\u00e3o obtido pela rota\u00e7\u00e3o, em torno do eixo $x$, do conjunto $A=\\{(x, y) \\in \\mathbb{R} | a \\leq x \\leq b, 0 \\leq y \\leq f(x) \\}$. Observemos que $A(x)= \\pi [f(x)]^{2}$ \u00e9 a \u00c1rea de interse\u00e7\u00e3o do s\u00f3lido com o plano perpendicular ao eixo $x$ e passando pelo ponto de abcissa $x$. Assim, o Volume mencionado anteriormente pode ser colocado na forma<\/h3>\n

$volume= \\int_{a}^{b} A(x) dx$.<\/h3>\n

Seja, portanto, $B$ um s\u00f3lido qualquer, n\u00e3o necessariamente de revolu\u00e7\u00e3o e seja $x$ um eixo escolhido arbitrariamente. Suponhamos que o s\u00f3lido esteja compreendido entre dois planos perpendiculares a $x$, que interceptam o eixo $x$ em $x=a$ e em $x=b$. Seja $A(x)$ a \u00c1rea de interse\u00e7\u00e3o do s\u00f3lido com o plano perpendicular a $x$ no ponto de abscissa $x$. Suponhamos que a fun\u00e7\u00e3o $A(x)$ seja integr\u00e1vel em $[a, b]$. Definimos, ent\u00e3o, o Volume do s\u00f3lido por<\/h3>\n

$Volume= \\int_{a}^{b} A(x) dx$.<\/h3>\n

Exposto o referencial te\u00f3rico, no cap\u00edtulo seguinte descrevemos o percurso metodol\u00f3gico da pesquisa.<\/h3>\n

\u00a0<\/p>\n\n\n\n
\n

\"\"<\/a>
2.3.2 Medida<\/h3>\n<\/td>\n

\n

\"\"<\/a>
In\u00edcio<\/h3>\n<\/td>\n

\n

\"\"<\/a>
3 Metodologia<\/h3>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":23,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-2803","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2803","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/users\/23"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2803"}],"version-history":[{"count":148,"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2803\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5314,"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2803\/revisions\/5314"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.multimeios.ufc.br\/fernandacarmo\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2803"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}