2.3.3 Medida de Área

Utilizamos Lima (1995, p. 51-53) e Bellemain e Lima (2002) para apresentar uma estrutura matemática para o conceito de Área de superfícies planas, para o processo de medir área. Inicialmente, os autores convencionaram que o termo superfície significa um conjunto limitado do plano euclidiano. O ponto de partida foi definir uma função $f$ , chamada função área, em um conjunto $\boldsymbol S$ de superfícies, com valores em $\mathbb{R}^{+}$ (os números reais não negativos) e que possua certas propriedades julgadas apropriadas para caracterizarem a Grandeza área, a saber:

i) positividade: se $A$ tem interior não vazio, $f(A)>0$ ;

Ou seja, uma figura de interior não vazio tem Área positiva (BELLEMAIN; LIMA, 2002).

ii) aditividade: $f(A \cup B)=f(A)+f(B)$ , se $A$ e $B$ são “quase disjuntos”, isto é, se $A \cap B$ contém, quando muito, pontos de suas fronteiras;

Isto é, se duas figuras $A$ e $B$ que têm em comum no máximo pontos de suas fronteiras, então a Área da figura $A \cup B$ , união de $A$ e $B$ , é a soma da Área de $A$ com a Área de $B$ (BELLEMAIN; LIMA, 2002).

iii) invariância por isometrias: se uma figura plana $A$ é transformada em outra, $B$ , de modo que a distância entre dois pontos quaisquer de $A$ fica inalterada em $B$ , então, $f(A)=f(B)$ .

Em outros termos, se uma figura plana $A$ é transformada em outra, $B$ , de modo que a distância entre dois pontos quaisquer de $A$ fica inalterada em $B$ , então, $A$ e $B$ têm a mesma Área (BELLEMAIN; LIMA, 2002).

Adotadas as propriedades acima, os autores impõem a questão matemática de caracterizar o domínio $\boldsymbol S$ da função $f$ . Eles destacaram que, se são exigidas as condições acima para a função área, não é possível medir todo subconjunto do plano. Desse modo, é preciso saber quais superfícies são mensuráveis por $f$ . Esse é um tema próprio da Teoria da Medida, que é contornado pelos autores ao convencionarem que $\boldsymbol S$ satisfaz a axiomas que asseguram que as figuras planas da matemática escolar são mensuráveis, entre outros:

Axioma 1. Se $A \in \boldsymbol{S}, B \in \boldsymbol{S}$ , então $A \cup B \in \boldsymbol{S}$ e $A \setminus B \in \boldsymbol{S}$ .

$A \setminus B$ representa a diferença dos conjuntos $A$ e $B$ , que é o conjunto dos elementos de $A$ que não estão em $B$ (LIMA, 1995).

Axioma 2. Os quadrados pertencem a $\boldsymbol S$ .

Axioma 3. Se $A$ é limitado e $A= \sum_{n=0}^{\infty}A_{n}$ com $A_{n} \in \boldsymbol{S}$ , para todo $n$ , então, $A \in \boldsymbol{S}$ .

Os autores tomaram, então, um quadrado $U$ , para superfície unitária. Para quadrado unitário é, em geral, escolhido aquele cujo lado é um segmento unitário, isto é, de comprimento 1. Portanto, sejam $U$ esse quadrado e $f_{U}$ a função área tal que $f_{U}(U)=1$ . Estabelece-se, então, a terminologia: $f_{U}(A)$ , é a Medida de Área da superfície $A$ , na unidade de medida $U$ . Com isso, uma figura $A$ que se possa construir como união finita de quadrados unitários quase disjuntos pertence a $\boldsymbol S$ e o valor $f_{U}(A)$ é o número de quadrados unitários contidos na figura (LIMA, 1995).

Na etapa seguinte da construção da função $f_{U}$ , os autores ressaltaram um instrumento fundamental que são as fórmulas de área. Se $A$ é um quadrado qualquer cujo lado tem comprimento de medida inteira $a$ , pode-se ver, de imediato, que $f_{U}(A)=a^{2}$ . Por subdivisão apropriada do lado do quadrado $U$ , deduz-se que, se $A$ tem lado racional $a$ , também será $f_{U}(A)=a^{2}$ . Esta mesma fórmula vale mesmo se $a$ é irracional. Para se deduzir tal fato, no entanto, é necessário que se adote mais uma propriedade a ser verificada pela função $f_{U}$ . A função $f_{U}$ que o satisfaça poderá ser calculada em quadrados de lado com medida irracional e, mais geralmente ainda, em superfícies de fronteiras curvas. Uma formulação possível é:

Axioma 4. Aditividade para uniões enumeráveis: se $A \in \boldsymbol{S}$ e $A= \sum_{n=0}^{\infty}A_{n}$ com $A_{n} \in \boldsymbol{S}$ e $A_{n} \cap A_{n+1}=\varnothing$ , então, $f(A)= \sum_{n=0}^{\infty}f(A_{n})$ . (Expressão da Área como a soma de uma série).

O cálculo do valor $f_{U}(A)$ envolve a passagem ao limite de uma sequência de valores que são as somas parciais da série $\sum f_{U}(A_{n})$ , onde $A_{n}$ é uma das figuras que compõem $A$ . Dessa forma surge o conceito de Área aproximada de uma superfície. O valor $f_{U}(A)$ é, na prática, obtido pelo valor de somas parciais de $\sum f_{U}(A_{n})$ com a aproximação desejada (LIMA, 1995).

Tais axiomas permitem, por outro lado, a demonstração de que uma função área $f_{U}$ satisfazendo às condições acima referidas está definida em todos os quadrados, triângulos e em todas as superfícies que se decompõem em uniões finitas de triângulos cujos interiores sejam disjuntos dois a dois. Em suma, em toda superfície poligonal. Mais ainda, uma figura plana $A$ , mesmo não poligonal, isto é, com fronteiras curvas, que pode ser definida como união enumerável de superfícies mensuráveis, é mensurável (LIMA, 1995).

O autor destaca que se a superfície unitária for mudada, é possível deduzir que a função $f_{U}$ , definida em $\boldsymbol S$ da forma indicada acima é única. Para isso, os autores consideraram, então, $f_{W}$ uma função área, definida em $\boldsymbol S$ (satisfazendo, então, aos axiomas de positividade, aditividade e invariância por isometrias) tal que $f_{W}(W)=1$ . A superfície $W$ é uma nova superfície unitária. Seja $\lambda =f_{W}(U)$ e tome a função $g=1/ \lambda f_{W}$ . Vemos que $g$ é também uma função área definida em $\boldsymbol S$ . Temos, portanto, $g(U)=(1/ \lambda) f_{W}(U)=(1/ \lambda) \cdot \lambda =1$ . Mas sabemos que a única função área que atende a essas condições é $f_{U}$ . Logo, $g=f_{U}$ , isto é, $(1/ \lambda)f_{W}=f_{U}$ e, portanto, $\boldsymbol{f_{W}}= \lambda \boldsymbol{f_{U}}$ . Isto é, dadas duas funções área quaisquer, $f, h$ , definidas em $\boldsymbol S$ , elas diferem apenas por um fator de proporcionalidade. A questão que o autor põe neste ponto é a de explicitar uma estrutura matemática na qual se defina o termo área.

Dada uma função área $f$ , definida em $\boldsymbol S$ , verificamos sua sobrejeção, isto é, dado um valor real positivo $\mu$ , existe uma superfície $A$ , tal que $f(A)= \mu$ . Mas $f$ não é injetiva, pois há um conjunto de superfícies de $\boldsymbol S$ , representado por $\boldsymbol{S}(f)_{\mu}$ , tal que, para toda superfície $B$ em $\boldsymbol{S}(f)_{\mu}$ , tem-se $f(B)=f(A)= \mu$ (LIMA, 1995).

O conjunto das superfícies mensuráveis $\boldsymbol S$ pode ser dividido em classes disjuntas. Além disso, essas classes de equivalência não dependem da função área escolhida. Em outras palavras, partir de outra função área, $h$ , (que se sabe, é igual a $\lambda f$ , para algum $\lambda$ ), podemos ver que $\boldsymbol{S}(f)_{\mu}= \boldsymbol{S}(h)_{\mu}$ , para todo $\mu$ . Concluímos que $\boldsymbol S$ fica dividido em classes disjuntas $\boldsymbol{S_{\mu}}$ . O conjunto dessas classes, $\boldsymbol{\underline S}$ , é o conjunto das áreas. Dada uma superfície $A$ , sua classe, $\underline A$ , é a Área $\underline A$ , isto é, o conjunto de todas as superfícies que têm a mesma Área que $A$ , quando medidas por qualquer função área (LIMA, 1995).

Nesse conjunto de classes, $\boldsymbol{\underline S}$ constituído, os autores puderam definir uma relação de ordem e duas operações, a adição de duas classes e a multiplicação de uma classe por um número, que satisfazem a propriedades análogas às de um espaço vetorial unidimensional sobre os reais. O conjunto $S$ é uma estrutura matemática que permite o tratamento abstrato do conceito de Área, sendo um caso particular de um “domínio de quantidades”.

2.3.3.1 Cálculo de Áreas: Integral de Riemann

Para rever a introdução do conceito de Integral de Riemann, utilizado no cálculo de Áreas, utilizamos Guidorizzi (2001, p. 302-311).

Sejam $f$ uma função definida em $[a, b]$ e $L$ um número real. Dizemos que $\sum_{i=1}^{n}f(c_{i}) \Delta x_{i}$ tende a $L$ , quando $máx \Delta x_{i} \rightarrow 0$ , e escrevemos $\lim_{máx \Delta x_{i} \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}f(c_{i}) \Delta x_{i}=L$ se, para todo $\varepsilon >0$ , existir um $\delta >0$ que só dependa de $\varepsilon$ mas não da particular escolha dos $c_{i}$ , tal que $|\sum_{i=1}^{n}f(c_{i}) \Delta x_{i}-L|< \varepsilon$ para toda partição $P$ de $[a, b]$ , com $máx \Delta x_{i}< \delta$ .

Tal número $L$ , que quando existe é único, denomina-se integral de Riemann de $f$ em $[a, b]$ e indica-se por $\int_{a}^{b}f(x)dx$ . Então, por definição $\int_{a}^{b}f(x)dx= \lim_{máx \Delta x_{i} \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}f(c_{i}) \Delta x_{i}$ .

Se $\int_{a}^{b}f(x)dx$ existe, então diremos que $f$ é integrável segundo Riemann em $[a, b]$ .

Ainda por definição, $\int_{a}^{b}f(x)dx=0$ e $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx (a<b)$ .

Teorema. Sejam $f, g$ integráveis em $[a, b]$ e $k$ uma constante. Então,

a) $f+g$ é integrável em $[a, b]$ e

$\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+ \int_{a}^{b}g(x)dx$ .

b) $kf$ é integrável em $[a, b]$ e $\int_{a}^{b}kf(x)dx=k \int_{a}^{b}f(x)dx$ .

c) Se $f(x) \geq 0$ em $[a, b]$ , então $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq 0$ .

d) Se $c \in \; ]a, b[$ e $f$ é integrável em $[a, c]$ e em $[c, b]$ então

$\int_{a}^{b}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx+ \int_{c}^{b}f(x)dx$ .

Seja $f$ contínua em $[a, b]$ , com $f(x) \geq 0$ em $[a, b]$ . Podemos definir a Área do conjunto $A$ do plano limitado pelas retas $x=a$ , $x=b$ , $y=0$ e pelo gráfico de $y=f(x)$ .

Seja, então, $P:a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}=b$ uma partição de $[a, b]$ e sejam $\bar{c_{i}}$ e $\bar{\bar{c_{i}}}$ em $[x_{i-1}, x_{i}]$ tais que $f(\bar{c_{i}})$ é o valor mínimo e $f(\bar{\bar{c_{i}}})$ o valor máximo de $f$ em $[x_{i-1}, x_{i}]$ . Uma definição para a Área de $A$ deverá implicar que a soma de Riemann $\sum_{i=1}^{n}f(\bar{c_{i}}) \Delta x_{i}$ seja uma aproximação por falta da Área de $A$ e que $\sum_{i=1}^{n}f(\bar{\bar{c_{i}}}) \Delta x_{i}$ seja uma aproximação por excesso, isto é, $\sum_{i=1}^{n}f(\bar{c_{i}}) \Delta x_{i} \leq área de A \leq \sum_{i=1}^{n}f(\bar{\bar{c_{i}}}) \Delta x_{i}$ .

Como as somas de Riemann mencionadas tendem a $\int_{a}^{b}f(x)dx$ , quando $máx \Delta x_{i} \rightarrow 0$ , nada mais natural do que definir a Área de $A$ por $área \; de \; A= \int_{a}^{b}f(x)dx$ .

Da mesma forma define-se Área de $A$ no caso em que $f$ é uma função integrável qualquer, com $f(x) \geq 0$ em $[a, b]$ .

2.3.3.2 Cálculo de Volumes: Aplicações da Integral

Também trazemos Guidorizzi (2001, p. 411-412) para introduzir cálculo de Volumes utilizando integral.

Sabendo que $\pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2} dx$ é a fórmula que fornece o Volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo $x$ , do conjunto $A=\{(x, y) \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b, 0 \leq y \leq f(x) \}$ . Observemos que $A(x)= \pi [f(x)]^{2}$ é a Área de interseção do sólido com o plano perpendicular ao eixo $x$ e passando pelo ponto de abcissa $x$ . Assim, o Volume mencionado anteriormente pode ser colocado na forma

$volume= \int_{a}^{b} A(x) dx$ .

Seja, portanto, $B$ um sólido qualquer, não necessariamente de revolução e seja $x$ um eixo escolhido arbitrariamente. Suponhamos que o sólido esteja compreendido entre dois planos perpendiculares a $x$ , que interceptam o eixo $x$ em $x=a$ e em $x=b$ . Seja $A(x)$ a Área de interseção do sólido com o plano perpendicular a $x$ no ponto de abscissa $x$ . Suponhamos que a função $A(x)$ seja integrável em $[a, b]$ . Definimos, então, o Volume do sólido por

$Volume= \int_{a}^{b} A(x) dx$ .

Exposto o referencial teórico, no capítulo seguinte descrevemos o percurso metodológico da pesquisa.

2.3.2 Medida

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