2.3.2 Medida

Trazemos a definição de Medida como está em Halmos (1950, p. 30-31, tradução nossa), no seu livro Measure Theory.

Uma função conjunto é uma função cujo domínio é uma classe de conjuntos. Uma função conjunto de valor real estendida definida em uma classe de conjuntos é aditiva se, sempre que

e , então

.

Uma função conjunto de valor real estendida definida em uma classe é finitamente aditiva se, para cada classe finita e disjunta de conjuntos em cuja união também está em , temos

.

Uma função conjunto de valor real estendida definida em uma classe é contavelmente aditiva se, para cada sequência disjunta de conjuntos em cuja união também está em , temos

.

Uma Medida é uma função conjunto de valor real estendida, não negativa e contavelmente aditiva, definida em um anel , e tal que . Em vista da identidade,

,

uma Medida é sempre finitamente aditiva.

Apenas para lembrar, um anel (ou anel Booleano) de conjuntos é uma classe não vazia de conjuntos tais que

e , então

e .

Ou seja, um anel é uma classe de conjuntos não vazia, fechada sob a formação de uniões e diferenças.

Vejamos um exemplo trivial de uma medida:

Seja uma função não negativa de valor real estendida dos pontos de um conjunto . Seja o anel composto por todos os subconjuntos finitos de ; define-se por

e .

Outros exemplos menos triviais:

Se é uma Medida em um anel , um conjunto em é dito ter medida finita se ; a Medida de é -finita se existe uma sequência de conjuntos em tal que

e .

Se a Medida de cada conjunto em é finita (ou -finita), a Medida é chamada finita (ou -finita) em . Se (ou seja, se é uma álgebra) e é finito ou -finito, então é chamado de totalmente finito ou totalmente -finito, respectivamente. A Medida é chamada completa se as condições

e

implica que .

 

2.3.1 Grandeza

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2.3.3 Medida de Área