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2.3.2 Medida
[latexpage]Trazemos a definição de Medida como está em Halmos (1950, p. 30-31, tradução nossa), no seu livro Measure Theory.
Uma função conjunto é uma função cujo domínio é uma classe de conjuntos. Uma função conjunto de valor real estendida $\mu$ definida em uma classe $\boldsymbol E$ de conjuntos é aditiva se, sempre que
$E \in \boldsymbol{E}, F \in \boldsymbol{E}, E \cup F \in \boldsymbol{E}$ e $E \cap F=0$, então
$\mu (E \cup F)= \mu (E)+ \mu (F)$.
Uma função conjunto de valor real estendida $\mu$ definida em uma classe $\boldsymbol E$ é finitamente aditiva se, para cada classe finita e disjunta $\{E_{1}, …, E_{n}\}$ de conjuntos em $\boldsymbol E$ cuja união também está em $\boldsymbol E$, temos
$\mu (\bigcup_{i=1}^{n}E_{i})=\sum_{i=1}^{n} \mu(E_{i})$.
Uma função conjunto de valor real estendida $\mu$ definida em uma classe $\boldsymbol E$ é contavelmente aditiva se, para cada sequência disjunta $\{E_{i}\}$ de conjuntos em $\boldsymbol E$ cuja união também está em $\boldsymbol E$, temos
$\mu (\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n})= \sum_{n=1}^{\infty} \mu (E_{n})$.
Uma Medida é uma função conjunto $\mu$ de valor real estendida, não negativa e contavelmente aditiva, definida em um anel $\boldsymbol R$, e tal que $\mu(0)=0$. Em vista da identidade,
$\bigcup_{i=1}^{n}E_{i}=E_{1} \cup … \cup E_{n} \cup 0 \cup 0 \cup …$,
uma Medida é sempre finitamente aditiva.
Apenas para lembrar, um anel (ou anel Booleano) de conjuntos é uma classe $\boldsymbol R$ não vazia de conjuntos tais que
$E \in \boldsymbol{R}$ e $F \in \boldsymbol{R}$, então
$E \cup F \in \boldsymbol{R}$ e $E-F \in \boldsymbol{R}$.
Ou seja, um anel é uma classe de conjuntos não vazia, fechada sob a formação de uniões e diferenças.
Vejamos um exemplo trivial de uma medida:
Seja $f$ uma função não negativa de valor real estendida dos pontos de um conjunto $X$. Seja o anel $\boldsymbol R$ composto por todos os subconjuntos finitos de $X$; define-se $\mu$ por
$\mu (\{x_{1}, …, x_{n}\})=\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})$ e $\mu(0)=0$.
Outros exemplos menos triviais:
Se $\mu$ é uma Medida em um anel $\boldsymbol R$, um conjunto $E$ em $\boldsymbol R$ é dito ter medida finita se $\mu (E)< \infty$; a Medida de $E$ é $\boldsymbol{\sigma}$-finita se existe uma sequência $\{E_{n}\}$ de conjuntos em $\boldsymbol R$ tal que
$E \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}$ e $\mu (E_{n})< \infty, n=1, 2, …$.
Se a Medida de cada conjunto $E$ em $\boldsymbol R$ é finita (ou $\sigma$-finita), a Medida $\mu$ é chamada finita (ou $\boldsymbol{\sigma}$-finita) em $\boldsymbol R$. Se $X \in \boldsymbol{R}$ (ou seja, se $\boldsymbol R$ é uma álgebra) e $\mu (X)$ é finito ou $\sigma$-finito, então $\mu$ é chamado de totalmente finito ou totalmente $\boldsymbol{\sigma}$-finito, respectivamente. A Medida $\mu$ é chamada completa se as condições
$E \in \boldsymbol{R}, F \subset E$ e $\mu (E)=0$
implica que $F \in \boldsymbol{R}$.
2.3.1 Grandeza
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2.3.3 Medida de Área
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